高中数学导数章节复习新人教B版选修2-2

导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

问题: 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2 再求

f 6 x x y lim 6 x 0 x

再求

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:(1)求函数的增量y f ( x0 x ) f ( x0 );

f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y ( 2)求 平 均 变 化 率 ; x x y ( x0 ) l i m ( 3)取 极 限 ， 得 导 数 f . x 0 x

注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一、曲线的切线y=f(x) y Q(x1,y1) △y P(x0,y0)

y0=f(x0), y1=f(x1)

当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)

自变量的增量 △x= x1- x0函数值的增量 △y= f(x1)- f(x0)

△xo

M x

Q(x0+ △x,y0+ △y)

△y=f(x0+ △x)-f(x0)

曲线在某一点处的切线的定义设曲线C是函数y=f(x)的图象，y=f(x)

y

Q △y T P △x

及邻近一 在曲线C上取一点 P(x0,y0) 点 ,过P,Q两点作割 Q(x0+△x,y0+△y) 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极x

o

限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式y=f(x) y Q △y

设割线PQ的倾斜角为β,切线PT的倾斜角为α y f ( x0 x) f ( x0 ) tanβ= x x

αo β

P

β α△x

当△x→0时，割线PQ的M x

斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即

tan α=

lim

x 0

f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x 0 x

k=lim

x 0

f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x x 0

【例1】 求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线的方程。解： △y=f(1+ △x)-f(1)= (1+ △x)2+1-(1+1) y 2 x x 2 x x x2

=2 △x+( △x)2

∴曲线在点P(1,2)处的切线的斜率为k lim (2 x) 2 x 0

因此，切线方程为

y-2=2(x-1)

即

y=2x

k=lim

x 0

f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x x 0

【注】求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线 的斜率的方法： (1)求△y=f(x0+ △x)-f(x0)

y (3)取极限，得斜率 k lim x 0 x

y ( 2 )求 x

练习：1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求 (1)点A处的切线的斜率；

(2)点A处的切线方程。2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切

线的方程。

5 6) 例2:求曲线 y x 过点P ( ,的切线方程 2 2 解：设切点(x0,x0 )【注】求过曲线y=f(x)外点 则k=f(x0 ) 2x0 P(x1,y1)的切线的方法： 5 又切线过点 P ( , 6), 设切点 0,f(x0 )) (x 2 y1 -f(x0 ) 2 x0 -6 k=f x0 ) 其斜率应满足 2x0 x1 -x0 5 2 即x0 -5x0 +6=0 x0 - 2 解x0 求切线 解得 x0 =2

,3 且k1 =4,k2 =6 即切点为(2,4)(3,9) 即切线方程y=4x-4,y=6x-92

【注】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的方法：

设切点 0,f(x0 )) (x解x0

y1 -f(x0 ) k=f x0 ) x -x 1 0

求切线 y-y0 k ( x x0 )

练习(1)求曲线y=x

-1过点(2,0)的切线方程

1 1 解：设切点(x0, ) 则k=f(x0 ) 2 x0 x0

又切线过点 P(2,0),

1 x0 1 其斜率应满足 2 x0 -2 x0

解得 x0 =1

且k=-1

即切点为(1,1) 切线方程:x+y-2=0

小结k=

作业: 45分钟

曲线在某一点处的切线及斜率lim x 0

f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x x 0

k=f x0 )

3、求函数图象切线需要注意的问题 (1)已知切点求切线的斜率 确定切点

( x0 , f ' ( x0 )) 求切线：'

k f ( x0 )( x0 , f ' ( x0 ))

写切线方程： y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )

(2)已知切线过点 ( a, b)求切线方程 点 ( a, b) 可以在曲线上，也可以不再曲线上 A、设切点 ( x , f ' ( x ))0 0

B、求斜率

k f ' ( x0 )

C、写切线方程

y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )

D、代入已知点

( a, b) 列方程组求得 x0

E、代入求得切线方程

公式1 C 0 (C为常数 ).'

公式2 ( x ) nxn '

n 1

(n R)

公式3 (sin x) cos x.'

公式4 (cos x) sinx.'

公式5 (a ) a ln ax ' x

记 一

公式6 (e ) ex 'x '

x

1 公式 7 (1oga ) 记 x ln a 1 ' 公式 8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.

练习 (1) 5x4 ;(3) cost ;

(2) 6x5 ; (4) -sin .

3 ( 5) 4 ; x

1 ( 6) 3 2 . 3 x

法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 法则2: ' ' ' f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x) 法则3: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x)