2016版3年高考2年模拟新课标一轮复习第四章 三角函数§4.2三

课标版 § 4.2

理数

三角恒等变换

知识梳理1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα-β); cos(α+β)=① cos αcos β-sin αsin β (Cα+β); sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β);sin(α+β)=② sin αcos β+cos αsin β (Sα+β);tan α tan β tan(α-β)= (Tα-β); 1 tan α tan β tan(α+β)= tan α tan β (Tα+β). 1 tan α tan β

前面四个公式对任意的α、β都成立,而后面两个公式成立的条件是α≠kπ + ,β≠kπ+ ,且α+β≠kπ+ (T 需满足),α-β≠kπ+ (T 需满足),k∈Z,否 2 2 2 α+β 2 α-β

则是不成立的.当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式Tα±β 处理有关问题,应改用诱导公式或其他方法来解. 2.要辩证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当变换:α=(α+β)-β,α= (α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α),等等.

3.在准确、熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题,如公式

的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为tan α±tan β=③ tan(α±β)· (1 tan αtan β) ,tan α tan β 1- tan(α β )

tan αtan β=④

=⑤

tan α tan β tan(α β ) -1

.

4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ 或f(α)=⑦

a

2

b 2 sin(α+φ1)

a

2

b 2 cos(α-φ2)

,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定.

5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩

2 tan α 1 tan 2 α

,在公式S2α,C2α中角α没有限制,在T2α中,只有当

k α≠ 4 + 2

且α≠ 2 +kπ(k∈Z)

时公式才成立.cos2α-sin2α = 2cos2α-1

6.余弦二倍角公式有三种形式,即cos 2α= = 2 2

1-2sin α ,由此可得变形公式sin α=

1 cos 2α 2

,cos2α=

1 cos 2α 2

,其双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.

7.三角恒等式的证明方法 (1)从等式一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式两边同时变形成同一个式子. (3)将式子变形(如作差)后再证明.

1.sin 45°· cos 15°+cos 225°· sin 15°的值为 ( A.-

)

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D. 1 2

3 2

答案 C 原式=sin 45°· cos 15°-cos 45°· sin 15°=sin 30°= ,故选C.

2.sin 15°+cos 15°的值为 (A.

)D. 3 2 2

1 2

B.

6 4

C.

6 2

答案 C sin 15°+cos 15°= 2 sin(15°+45°)= 2 sin 60°= ,故选C. 2

6

2 3.已知sin α= ,则cos(π+2α)= 3 1 答案 - 9

.

解析

1 2 2 cos(π+2α)=-cos 2α=-(1-2sin α)=2× 3 -1=- . 9

2

4 ,0 4.已知α∈ ,cos(π α )= ,则tan 2α=

答案 解析

2 24 - 7

5

.

4 4 由cos(π-α)=- 得cos α= . 5 5

∵α∈ ,0 ,

2 3

3 ∴sin α=- ,∴tan α=- , 5 4 3 2 24 2tan α 4 ∴tan 2α= 2 = = . 2 7 1 tan α 3 1 4

5.已知α∈ ,则tan α = , ,sin α= 4 5 2

3

.

答案 解析

1 7 4 3 由已知得cos α= ,∴tan α= , 5 4

3 1 1 4= 4 α 则tan = = . 3 4 7 1 tan α tan 1 1 4 4

tan α tan

典例题组三角函数式的化简、求值 典例1 (2014江苏,15,14分)已知α∈ , ,sin α= . 4 5 2α 的值. (2)求cos 6 5 , 解析 (1)因为α∈ , ,sin α= 5 2

2

5 5

(1)求sin α 的值;

所以cos α=- 1 sin 2 α =- . 故sin cos α+cos sin α α =sin 4

2 5 5

4

4

10 5 2 2 5 2 = × + × = .

2

5

2

5

10

5 2 5 4 (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× × , =- 5 5 5

5 3 2 cos 2α=1-2sin α=1-2× = , 5 5

5 6

2

2α =cos cos 2α+sin sin 2α 所以cos

5 6

5 6

3 3 1 4 4 3 3 = + × . × =- 2 5 10 5 2

1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行 合理拆分,从而正确使用公式;

(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常见的 有“遇到分式要通分”等.

2.三角函数式的求值类型 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的, 但经过仔细观察,非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得 到的关系,结合公式转化为特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函 数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求 角的范围,然后确定角.

1-1 若

cos 2α 2 =- ,则cos α+sin α的值为 2 sin α 4

.

答案 解析

1 2

cos 2α cos 2α sin 2α 2 = =- 2 (sin α+cos α)=- , 2 2 sin α (sin α cos α) 4 2

∴sin α+cos α= 1

2

1-2 化简sin2αsin2β+cos2αcos2β- cos 2αcos 2β. 解析

1 2

解法一(从“角”入手,复角→单角):1 2

原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β- (2c

os2α-1)(2cos2β-1)=sin2αsin2β+cos2αcos2β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- 1 =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- 2 1 1 1 =sin2β+cos2β- =1- = . 2 2 2 1 2 1 2

解法二(从“名”入手,“异名”化“同名”):

原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β- cos 2αcos 2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos 2αcos 2β =cos2β-sin2αcos 2β- cos 2αcos 2β 2 =cos2β-cos 2β sin α cos 2 α 1 2

1 2

1 2

1 2

1 cos 2 β 1 2 2 -cos 2β sin α (1 2sin α ) 2 2 1 cos 2 β 1 1 = - cos 2β= . 2 2 2

=

解 …… 此处隐藏：2175字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……