高年级华杯赛决赛压轴解题题得分要点精讲-数论—同步演练

高年级华杯赛压轴解答题得分要点精讲—数论—同步演练

1. 两个自然数a，b的最小公倍数等于100，则a＋b有（ ）种可能的数值。

A、9；

B、11；

C、13；

D、15；

【正确选项】C

【解析】

因为：100 22 52，a，b是100的约数，它们只能取1，2，4，5，10，20，25，50，100,不妨设a≥b，当a＝100时，b＝1，2，4，5，10，20，25，50，100共9种取值； 当a＝50时，b＝4，20；

当a＝25时，b＝4，20；

当a再小时，不存在比a更小的b使得他们的最小公倍数为100。

所以共有9+2+2=13个。

【知识点】约数倍数

2. 同时满足下列三个条件的自然数a，b的和总共有（ ）种。

1）a＞b； 2）

A、0；

B、1；

C、2；

D、3；

【正确选项】B

111， ab289

289的约数共有1、17、289 共3个； ab 289 3）a＋b是平方数。 a b【解析】根据条件2，可以得到，

令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为1，只需m，n是289的一对互质的约数即可。即有（1，17）和（1，189）两种情况。

111711当(m，n)=（1，17），此时，a + b=289×18+17 289289 18289 18289 1817 18

×18 = 18 ×18×17不为平方数不符合；

1128911此时，a + b=289 289289 290289 290289 290290，当(m，n)=（1，289）时，

×290+290=2902；所以满足条件的只有a=289×290，b=290这一种情况。

【知识点】分数拆分

3. 已知等式111其中a，b是非零自然数，则a +b的最大值为（ ）。 18ab，

A、200；

B、361；

C、684；

D、396；

【正确选项】B 【解析】易知，1m nmn ，令（m，n）为互质的一对数，现在1818(m n)18(m n)18(m n)

要让分母为1，只需m，n是18的一对互质的约数即可，18的约数有1、2、3、6、9、18。 当(m，n)=（1，2）时，111，此时，a +b=81； 185427

111 ，此时，a +b=96； 187224

111 ，此时，a +b=147； 1812621当(m，n)=（1，3）时，当(m，n)=（1，6）时，

当(m，n)=（1，9）时，111，此时，a +b=200； 1818020

111 ，此时，a +b=361； 1834219当(m，n)=（1，18）时，

当(m，n)=（2，3）时，111 ，此时，a +b=75； 184530

当(m，n)=（2，9）时，111，此时，a +b=121； 189922

所以，a +b的最大值为361。

【知识点】分数拆分

4. 现有诗文一首：“自古英雄惜英雄，单凭慧眼瞩英雄，谁人有幸得识我，一宝押下先结

盟。”。现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这个28个自然数的平均值是23，问“我”字对应的自然数的最大可能值是（ ）。

A、36；

B、37；

C、38；

D、39；

【正确选项】A

【解析】读题意易知，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中“英”重复了3次“雄”也重复了3次；现在要让“我”最大，先让“英”和“雄”最小，其他连续，让“我”代表最大的那个数，然后再进行调整。则1+2+3+…+24+2×1+2×2=306。 现在他们的和为：23×28=644。

（644 - 306）÷28=12……2

先让所有的数都加上12，他们的和离644还差2，

可对“雄”进行调整，让“雄”代表的不是2，而是3，此时和即为644。

所以，“我”最大可以为36。

【知识点】公式求和

5. 右图中不同的汉字代表1:9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字 所代表的两位数最大是多少? 中国 新北京A、84； +新奥运B、85；

C、86；

D、87； 2008

【正确选项】A

【解析】从图中可以看出，“新” 9，因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中” 8。因为十位相加(含个位的进位)等于20，所以“北 奥”在1:7中的取值有三种可能：(7,5)；(7,4)；(6,5)。再考虑到“国 京 运”的个位数字是8，经试算，只有“北”、 “奥”等于7、5时满足，此时“国”、“京”、“运”等于1、3、4，“国”取其中最大的4，得到“中国”最大是84。

【知识点】数字谜与数阵图；

6. 将数字1:9填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立：现在“2”、“4”

已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（★处）是 ．

A、1；

B、3；

C、7；

D、9；

【正确选项】A (+2) 4+-=2007

【解析】首先可以估算四位数的取值范围。设四位数为，两位数为，一位数为g，则 (2007 g ) 4 2 8028 4g 4 2，四位数不大于(2007+9–13)×4–2=8010，不小于(2007 1 98) 4 2 7638，所以四位数的首位数字只能是7。由abcd 8028 4g 4ef 2得abcd 2 g ef 8028 5g 3ef，等式左边的所有数字之和为1+2+…+9–4=41，41÷3=13…2，因此等式左边的数字之和除以3余2，所以等式右边的数字之和除以3余2，而8028，3均能被3整除，所以5g除以3余2，因此g 1或g 7（舍去），即★处填1。

【知识点】余数