几个常用函数的导数

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1.2.1几个常用函数的导数

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我们知道, 导数的几何意义是曲线在某 点处的切线的斜率, 物理意义是运动物 体在某一时刻的瞬时速度.那么, 对于函 数 y = f ( x ) , 如何求它的导数呢 ?

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根据函数的定义, 求函数y = f ( x)的导数, y 就是求出当 x趋近于0时, 所趋于的那 x 个定值.

即： f ( x0 + x) f ( x0 ) y f ( x0 ) = lim = lim x →0 x x → 0 x'3

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. 函数 y = f ( x ) = c 的导数 f (x + x ) f (x ) y 因为 =c c = = x所以 x x

y

y=c

, y = lim x→ x = .

O

x

y `= lim x→

图 .

y `= 0 表 示 函 数 y = c图 象 (1 .2 1 ) 上 每 一 点 处 的 切 线 的 斜 率 都 为 0 .若 y = c 表 示 路 程 关 于 时 间 的 函 数 , 则 y `= 0 可 以 解 释 为 某 物 体 的 瞬 时 速 度 始 终 为 0, 即 一 直 处 于 静 止 状 态 .4

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y

. 函数 y = f ( x ) = x 的导数x + x x = , x

y f (x + x ) f (x ) 因为 = x x =

y= xO

x

y `= 1表 示 函 数 y = x图 象 (1.2 2 ) 上 每 一 点 处 的 切 线 的 斜 率 都 为 1.若 y = x 表 示 路 程 关 于 时 间 的 函 数 , 则 y `= 1 可 以 解 释 为 某 物 体 做 瞬 时 速 度 为 1的 匀 速 运 动 .5

y 所以 y `= lim = lim = . x → x x →

图 .

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思考1、函数y = f ( x) = 2 x的导数？ 函数y = f ( x) = 3 x的导数？ 函数y = f ( x) = 4 x的导数？2、更一般地，函数y = f ( x) = b(b为常数) x 的导数？6

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探究 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y = 2 x , y = 3 x , y = 4 x的图解 , 并根据导数定 义 , 求它们的导数.

(1) 从图象上看 , 它们的导数分别表示什么 ? ( 2 ) 这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一个增加得最慢 ?

( 3 )函数有关 ?

y = kx ( k ≠ 0 ) 增 ( 减 ) 的快慢与什么7

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y

. 函数 y = f ( x ) = x 的导数f (x + x ) f (x ) y 因为 = x x

y = x2

==

(x + x ) xx +

x

O

x

x x + ( x ) x x

图 .

=所以

x + x,

y y `= lim = lim x→ x→ x

(

x + x)=

x.8

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y `= 2 x 表 示 函 数 y = x 2 图 象 (1.2 3 ) 上 点 ( x , y ) 处 切 线 的 斜 率 为 2 x , 说 明 随 着 x的 变 化 , 切 线 的 斜 率 也 在 变 化另 一 方 面 , 从 导 数 作 为 函 数 在 一 点 的 瞬 . 时 变 化 率 来 看, y ' = 2 x 表 明 : 当 x < 0 时,随 着 x 的 增加 , y = x 2 减 少 得 越 来 越 慢 ; 当 x > 0时 , 随 着 x的 增 加 ,2 y = x 2增 加 得 越 来 越 快 . 若 y = x 表 示 路 程 关 于 时

间 的 函 数 ,则 y ' = 2 x, 可 以 解 释 为 某 物 体 作 变 速 运 动 , 它 在 时 刻 x的 瞬 时 速 度 为 2 x .9

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思考1、试求函数y = f ( x) = ax 的导数。2

2、进一步的，思考一元二次函数 y=f(x)=ax +bx+c(a、b、c为常数)2

的导数为多少？

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. 函数 y = f ( x ) = 的导

数 x y f (x + x ) f (x ) 因为 = x x

x ( x + x ) = , = x( x + x ) x x + x x

= x + x x

x

y 所以 y `= lim . = lim = x→ x x → x x + x x

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. 函数 y = f ( x ) = x 的导数 y f (x + x ) f (x ) = 因为 = x x

x + x x

x

( ==

x + x x x + x + x x + x + x

(

)(

)

x

)

x + x +

x

,

y 所以 y `= lim = lim x → x x →

x + x +

x

=

x

.12

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回顾总结函数y=cy = bx

导函数y' = 0 y' = b y' = 2x 1 ' y = 2 xy' = 1 2 x13

y = x21 y= xy= x

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作业 课后思考，试求下列函数的导数 (1)y = ax + bx + c2

a (2)y = x (3)y=a x A组 第一题，第二题，第四题。 组 第一题，第二题，第四题。14