数列在贷款问题中的应用

数列与 贷款——生活中的数列问题 成都七中国际部数学组

住房贷款问题 成都房价走势图，图片来源：搜房网

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住房贷款问题 成都高新区房价走势图，图片来源：搜房网

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住房贷款问题 成都高新区保利百合花园房价， 价格说明：均价13000元/㎡,98㎡、101㎡、

129㎡三种户型在售。除了“楼王”以外，其他 房源成交即优惠2万5。 图片来源：搜房网 /fangjia/

住房贷款问题 老王通过对比观察，决定购买上述“保利百合

花园”101m2户型一套。经协商，开发商决定 以均价(1.3万元/m2)的96%出售该套房屋， 并同时享受成交优惠(成交即减2.5万元)。 请问老王一共要支付多少费用才能购买该房？

支付总费用 p = 1.3 0.96 101 – 2.5 (万元) = 123.548 (万元)

住房贷款问题 购房总价123.548

(万元) 老王手头有现金45万元，只能选择首付一部分， 然后向工商银行利用公积金贷款购买； 如果老王要保证手头有5万元左右的现金余留， 你认为老王应该选择多少按揭成数？(只能是 整数的按揭成数。) ∵ 1,235,480 0.3 = 370,644(元) ∴ 老王应该选择 7 成按揭成数. ∴ 老王要向银行借贷 ： 1,235,480 – 370,644 = 864,836(元)

住房贷款问题 据银行数据，2014年银行借贷利率如下：

老王决定用公积金借贷，年利率为4.5%,借期为 20年，(240个月). 老王有以下两种还款方式： 等额本金还款法；等额本息还款法.

建立数学模型

住房贷款问题 等额本金还款

借贷金额：864,836(元) 借款利率：4.5% 借款年限：20年

等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款

期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的 本金和剩余贷款在该月所产生的利息。贷款人 需要将本金平均分摊到每期内，同时付清上一 交易日(还款日)至本次还款日之间产生的利 息。 每个月要偿还借贷本金多少钱？利息是多少？ 如何计算第 n 个月的偿还金额 an 呢？ an 由哪些部分组成？

数据观察

建立数学模型 借贷金额：864,836(元) 借款利率：4.5% 借款年限：20年

住房贷款问题

每月偿还金额分为两个部分： 本金(864,836元)平均分配到每个月的部分：

此时已经偿还了3903.48*(n – 1)元的本金，产 生利息的本金金额为3903.48*(24 – (n – 1)) 1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12

剩余本金在当月产生的利息，设在第n个月时，

864836 固定值 3903.48 240

回归实际问题

住房贷款问题

回归实际问题

住房贷款问题 等额本金还款：

累积偿还利息即数列

借贷金额：864,836(元) 借款利率：4.5% 借款年限：20年

每月还款金额构成一个单调递减的等差数列；

项的和； 可以利用等差数列求和公式得到： 采用等额本金还款法，偿还总利息390797.6元.

{ an – 3903.48 } 的前240

1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12

建立数学模型 1 a1 864836 4.5% 12 借贷金额：864,836(元) 1 1 借款利率：4.5% an 864836 n 1 x 4.5% an 864836 n 1 x a a2S n 1 an 1 4.5% 1 借款年限：20年 等额本息还款 12 12

住房贷款问题 a1 a2

等额本息还款与等额本金还款虽仅有一字之差，

却是截然不同的两种还款方式。 等额本息还款即借款人每月按相等的金额偿还 贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款 涉及到an与Sn之间的转化 本金计算并逐月结清。 了，很难求解！可否通过 设每个月偿还金额为 x 元，如何求解 x 呢？ 另外的模型先求解 x呢？ 240个月中，一共又产生了多少的利息呢？ 如何构建数列模型？ 设第n个月产生的利息为an可以得到什么？

a240 240 x 864836

建立数学模型

住房贷款问题 等额本息还款

借贷金额：864,836(元) 借款利率：4.5% 借款年限：20年

我们也可以这样考虑：第

n 个月还款后还剩余 bn元未偿还；那么第 n + 1 个月还款后剩余债 务bn + 1与 bn 之间有什么关系呢？

bn 1

1 bn bn 4.5% x ,1 n 239 12

1 b1 864836 1 4.5% x 12

b240 0

求解数学模型

bn 1

1 bn 1 4.5% x ,1 n 239 12

1 b1 864836 1 4.5% x 12

b240 0

解得：x 5471.38

x 1 解得：k 设bn 1 k 1 4.5% bn k , 1 12 4.5% 12 12 x 1 bn 公比为 1 4.5% . 成等比数列， 4.5% 12 239 12 x 12 x 1 b240 b1 1 4.5% 数据观察 4.5% 4.5% 12

回归实际问题

住房贷款问题

住房贷款问题 结论： 等额本金还款法： 将本金分摊到每个月内,同时付清上一交易日至

本次还款日之间的利息。这种还款方式相对等 额本息而言,总的利息支出较低,但是前期支付的 本金和利息较多,还款负担逐月递减。 [优点] 适合目前收入较高的人群，总房贷利息 较之等额本息低。 [缺点] 还贷初期每月负担比等额本息重。

住房贷款问题 结论：

等额本息还款法： 把按揭贷款的

本金总额与利息总额相加，然后平均

分摊到还款期限的每个月中。作为还款人，每个月 还给银行固定金额，但每月还款额中的本金比重逐 月递增、利息比重逐月递减。 [优点] 每月还相同的数额，作为贷款人，操作相对 简单。每月承担相同的款项也方便安排收支。 [缺点] 由于利息不会随本金数额归还而减少，银行 资金占用时间长，还款总利息较等额本金还款法高。

房贷计算器： /housemarket/house

market3.php?caculate=1

思考：如果你打算利用分期付款购买一台即将

上市的iPhone6,请自己调查并计算一下用哪种 贷款方式比较适合你.