高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.4 组合(2)课堂导

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.4 组合(2)课堂导学案 新人教A版选修2-3

1.2.4 组合（2）

课堂导学

三点剖析

一、求解组合问题的等价转化方法

【例1】 有10级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共7步上完，则不同的走法共有多少种？

解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为x ，每步上两级的步数为y ，每步上三级的步数为z ，则 ???=++=++.

7,1032z y x z y x (x 、y 、z∈N ). 易知0≤z≤1，可解得

?????===0,3,4z y x 或??

???===.1,1,5z y x

当x=4,y=3,z=0时，它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列，共有47C =35

种排法，则有35种走法.

当x=5,y=1,z=1时，同理可知有17C 16

C =42种走法. 由分类计数原理，共有35+42=77种走法.

二、注意排列组合应用题中的形同实异问题

【例2】（1）把6本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？

(2)把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？

解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而（2）中对三只抽屉已经编了号.

问题1有26C ·24C ·2

2C /33A =15种放法；

问题2有26C ·24C ·22C =90种放法. 温馨提示

在排列组合应用题中，有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆.对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.

三、立体几何中的组合问题的解法

【例3】（2005全国高考卷Ⅲ，11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共面( )

A.3个

B.4个

C.6个

D.7个

解析：事实上，平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设E 、F 、G 、H 、M 分别是AB 、AC 、AD 、CD 、BD 的中点，过E 、F 、G 三点的平面α满足题意，这样的平面有四个；又过E 、F 、H 、M 的平面α也满足题意，这样的平面有三个.

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故适合题设的平面α共有七个，应选D.

温馨提示

在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题，这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，能力要求高，解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时要注意避免重复和遗漏.本例中，根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，从而使问题得以解决.

各个击破

【类题演练1】8个不加区别的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种放法？

解析：将8个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种放法.要想分成四部分，

只需用3个隔板将它们隔开.8个球共有7个空隙，选其中3个空隙插隔板，共有37C =35种

分法，故共有35种放法.

【变式提升1】圆周上有n(n≥4)个点，每两个点连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个交点？

解析：如图所示，P 是圆上四点A 、B 、C 、D 所引的弦在圆内的惟一交点，即圆内接四边形ABCD 对角线的交点，易知，当没有三弦交于圆内一点（端点除外）时，弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射，所以这些弦在圆

内最多有4n C 个交点.

【类题演练2】（1）把7个不同的玻璃球放在两个布袋中，有多少种不同的放法？

（2）把7个玻璃球放在甲、乙两个布袋中，有多少种不同的放法？

（必须两个布袋里都有玻璃球）

解析：（1）共有17C +27C +3

7C =63（种）；

（2）共有2（17C +27C +37C ）=126（种）. 【变式提升2】十件奖品全部赠给九位先进工作者，每人至少得一件.如果十件奖品都相同，有多少种不同的赠送方法？

解析：如果10件奖品都相同，那么得奖方法只有得2件与1件的区别，赠2件的方法有9种，也就是赠送的方法一共有19C 种，即9种.

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【类题演练3】（2005江苏高考，12）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的，现在编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为( )

A.96

B.48

C.24

D.0

解析：如图分别用1—8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：（实质就是异面直线配对）

故8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，

2A=48（种），故选B.

6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法种数为1

4

【变式提升3】在四棱锥P—ABCD中,顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中任取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有_______________种.( )

A.40

B.48

C.56

D.62

解析：如图满足题设的取法可分为三类：

C=40种取法；

①在四棱锥的每个侧面上除P点外任取3点，有4×3

5

C=8种不同取法；

②在两个对角面上除点P外任取3点，共有2×3

4

C=8种不

③过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有4×1

2

同的取法.

故不同的取法共有40+8+8=56种.

答案：C