离散数学试卷及答案(2)

免费的离散数学试卷及其参考答案

一、填空 20% （每小题2分）

1、 P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为

“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P

则公式 x yP(y,x)真值为 。 2、 设S={a1 ，a2 ， ，a8}，Bi是S的子集，则由B31所表达的子集是 。

3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系R { x,y |x y x是质数}，则R=

（列举法）。

R的关系矩阵MR=

。

5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R= ；

A上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统<A，*>，其中A={a，b，c},

则幺元是 ；是否有幂等

性 ；是否有对称性 。

7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。

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9、n个结点的无向完全图Kn的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式(P ( P Q)) (( P Q) R 的根树表示为

。

二、选择 20% （每小题2分）

1、在下述公式中是重言式为（ ）

A．(P Q) (P Q)；B．(P Q) ((P Q) (Q P))； C． (P Q) Q； D．P (P Q) 。

2、命题公式 ( P Q) ( Q P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。

A．0； B．1； C．2； D．3 。 3、设S { ,{1},{1,2}}，则 2 有（ ）个元素。

A．3； B．6； C．7； D．8 。 4、 设S { 1, 2, 3 }，定义S S上的等价关系

S

R { a,b , c,d | a,b S S, c,d S S,a d b c}则由 R产 生的S S上一个划分共有（ ）个分块。

A．4； B．5； C．6； D．9 。 5、设S { 1, 2, 3 }，S上关系R的关系图为

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则R具有（ ）性质。

A．自反性、对称性、传递性； B．反自反性、反对称性； C．反自反性、反对称性、传递性； D．自反性 。 6、设 , 为普通加法和乘法，则（ ） S, , 是域。 A．S {x|x a b,a,b Q} B．S {x|x 2n,a,b Z}

C．S {x|x 2n 1,

n Z} D．S {x|x Z x 0}= N 。

7、下面偏序集（ ）能构成格。

8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3 的道路有（ ）条。

A．1； B．2； C．3； D．4 。 9、在如下各图中（ ）欧拉图。

是实数集合，“ ”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ ）。

、设R

10

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A．群； B．独异点； C．半群 。

三、证明 46%

1、 设R是A上一个二元关系，

S { a,b |(a,b A) (对于某一个c A,有 a,c R且 c,b R)}试证明若R

是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）

2、 用逻辑推理证明：

所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。（11分）

3、 若f:A B是从A到B的函数，定义一个函数g:B 2A 对任意b B有

A

g(b) {x|(x A) (f(x) b)}，证明：若f是A到B的满射，则g是从B到 2 的

单射。（10分）

4、 若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）

5、 设G是具有n个结点的无向简单图，其边数m

图（8分）

1

(n 1)(n 2) 2，则G是Hamilton2

四、计算 14%

1、 设<Z6,+6>是一个群，这里+6是模6加法，Z6={[0 ]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求

出<Z6,+6>的所有子群及其相应左陪集。（7分）

2、 权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。（7分）

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一、 填空 20%（每小题2分）

1、 P Q；P Q 2、T 3、B31 B00011111 {a4,a5,a6,a7,a8} 4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,3>,<5,

1

1

4>,<5,5>,<5,6>}； 0

1 0 1111

1111

0011 5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}；R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

1111 0000

1

n(n 1)；图中无奇度结点且连通 2

6、a ；否；有 7、Klein四元群；循环群 8、 B 9、10 、

二、

选择 20%（每小题 2分）

三、 证明 46%

1、（9分）

（1） S自反的

a A，由R自反， ( a,a R) ( a,a R)， a,a S

（2） S对称的

a,b A

a,b S ( a,c R) ( c,b R)

( a,c R) ( c,b R) b,a S

（3） S传递的

S定义 R对称 R传递

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a,b,c A

a,b S b,c S

( a,d R) ( d,b R) ( b,e R) ( e,c R) ( a,b R) ( b,c R) a,c S

R传递 S定义

由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。 2、11分

证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：王华 上述句子符号化为：

前提： x(P(x) Q(x))、S(a) P(a) 结论： x(S(x) Q(x)) 3分

①S(a) P(a) ② x(P(x) Q(x)) ③P(a) Q(a) ④P(a) ⑤Q(a). ⑥S(a) ⑦S(a) Q(a) ⑧ x(S(x) Q(x) ３、１0分

证明 ： b1,b2 B,(b1 b2) f满射 a1,a2 A

P P US② T①I T③④I T①I T⑤⑥I EG⑦

11分

使f(a1) b1,f(a2) b2,且f(a1) f(a2),由于f是函数, a1 a2

又g(b1) {x|(x A) (f(x) b1)},g(b2) {x|(x A) (f(x) b2)} a1 g(b1),a2 g(b2)但a1 g(b2),a2 g(b1) g(b1) g(b2)由b1,b2任意性知,g为单射。

4、8分

证明：设G中两奇数度结点分别为u 和v，若 u，v不连通，则G至少有两个连通分支G1、G2 ，使得u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u，v一定连通。

5、8分

证明： 证G中任何两结点之和不小于n。

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反证法：若存在两结点u，v 不相邻且d(u) d(v) n 1,令V1 {u,v}，则G-V1是具有n-2个结点的简单图，它的边数m

'

1

(n 1)(n 2) 2 (n 1),可得2

m'

1

(n 2)(n 3) 1，这与G1=G-V1为n-2个结点为简单图的题设矛盾，因而G中任何2

四、

两个相邻的结点度数和不少于n。

所以G为Hamilton图.

计算 14%

1、 7分

解：子群有<{[0]},+6>；<{[0],[3]},+6>；<{[0],[2],[4]},+6>；<{Z6},+6> {[0]}的左陪集：{[0]}，{[1]}；{[2]}，{[3]}；{[4]}，{[5]} {[0]，[3]}的左陪集：{[0]，[3]}；{[1]，[4]}；{[2]，[5]} {[0]，[2]，[4]}的左陪集：{[0]，[2]，[4]}；{[1]，[3]，[5]} Z6的左陪集：Z6 。

2、 7分