钱伯初量子力学考试题

钱伯初量子力学考试题

量子力学考试题 （共五题，每题20分）

1、扼要说明：

（a）束缚定态的主要性质。

（b）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符）F，G不对易，令K

＝i（FG-GF），试证明：

（a）K的本征值是实数。

（b）对于F的任何本征态

，K的平均值为0。

（c）在任何态中F2

+G2

≥K

3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为

H＝ Sz+νSx （ ，ν>0， »ν）

（a）求能级的精确值。

（b）视νSx项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m的粒子在无限深势阱（0<x<a）中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值x，px，xpx

5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨

道”态只有3种： a(r

)， b(r)， c(r)，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。 （i）无自旋全同粒子。

（ii）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准

1、（a），（b）各10分

（a）能量有确定值。力学量（不显含t）的可能测值及概率不随时间改变。 （b）（n l m ms） （n’ l’ m’ ms’）

选择定则： l＝ 1， m＝0, 1， ms＝0

根据：电矩m矩阵元-ern’l’m’ms’，n l m ms 0 2、（a）6分（b）7分（c）7分

（a）K是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b）F ＝ ， F

＝ K＝

K

＝iF G

-GF ＝i ｛ G - G ｝＝0

（c）(F+iG)(F-iG)=F2

2

+G-K

(F

+iG)(F-iG)

=︱(F-iG)

︱2

≥0

2

<F+G2

-K>≥0，即F2+G2≥K

3、(a)，(b)各10分

1

0 01

(a) H＝ Sz+νSx＝2 ［0 1］+2ν［10］＝2［

］a

H ＝E ， ＝［b］，令E＝2 ，则 a

［

］［b］＝0，︱ ︱ ＝ 2- 2- 2＝0

＝ 2 2

，E1＝-22 2，E2＝2

2 2

2 2 2

当 »ν，2 2＝ （1+ 2）1/2

（1+2 2）＝ +2

2

2E1 -2［ +2 ］，E2 ＝2［ +2 ］

（b）H＝ Sz+νSx＝H’’

0+H，H0＝ Sz，H＝νSx

钱伯初量子力学考试题

本征值为，取E1

（0）

＝-，E2

（0）

＝

相当本征函数（Sz表象）为 1(0)＝[]， 2(0)＝[] 则之矩阵元（Sz表象）为

=0， =0， ＝ ＝

’

5、（i），（ii）各10分

（i）s＝0，为玻色子，体系波函数应交 有： ， ， ，

a c c b c c

E（0）

1＝E1

+ + ＝-+0-＝--

E2＝E（0）

2

+ + ＝+

4、E1＝，＝ EMBED Equation.3

＝ ＝

＝-i -i

＝-i

＝

＝ -

＝0+

四项各5分

共6种。

（ii）s＝ ，单粒子态共6种：

， ， ， ， ， 。

任取两个，可构成体系（交换）反对称态

＝ -

体系态共有 种

或： ， ， 三种轨道态任取两个，可构 + 及一种反对称态 - ，前者应与自旋 - ，前者应与自旋单态x00相乘，而构重态x11， x10 ，x1-1相乘而构成体系反对

但轨道对称态还有 型，共3种型，各与3+3+9＝15种。