2011《高等数学A下》期中模拟自测答案

《高等数学》期中考试试卷

一、填空题( 10 3 30分) (1) 点A(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 2原点 O在该平面上 ， 故d OA n n (2,1,0) (3,4,5) 3 4 52 2 2

. 2

(2) 三角形ABC内一点O满足 OA 2OB 3OC 0, 1: 3 则三角形AOC和三角形ABC面积之比为

.

1 1 S ABC 1 2 AB AC 2 OB OA OC OA 2 OB OC OA OA OC

OB

1 2

1 S ABC 1 OB OC OA OA OC 2 2

3OC OA

1 2

OA 3OC OC OA OA OC

3 2

OA OC 3S AOC

(3) 过 P 1, 2, 1 且与直线 x t 2, y 3t 4, z t 1 垂直的平面方程

x 3y z 4 0 .

直线的方向向量 s ( 1,3,1)即是所求平面的法向量 .

( x 1) 3( y 2) ( z 1) 0

z (4)设 z ln( x y ),则 x2 2

x 1, y 1

1

z x

2x 2 2 x y x 1, y 1

1x 1, y 1

(5) 二元函数 z z x, y 由方程 2 xy 2 xyz ln( xyz ) 0所确定，则

z z 2 yz x 2 xyz 1 x

.

两边对 x求偏导( z是x和y的函数 )得

yz xyz x 2 y 2 y z xz 0 x xyz yz 1 即 2 y 2 yz 2 xy z x 0 xyz z 解之即得

f t

(6) 设 f ( x, t ) x at (u )du , (u ) 为连续函数，则

x at

a ( x at) ( x at)

.

f ( x at )a ( x at )( a ) t(7) 设

z ex y

,则 dz 2,1

e dx 2e dy2 2

.

dz

( 2 ,1)

( ye xy ) ( 2,1) dx ( xe xy ) ( 2,1) dy

x2 y 2 z 2 6 (8) 曲线 : 在点 1, 2,1 处的法平面方程 x y z 0 2 y 2 z 2 x 2 z n , 1 1 1 1 p 2 yy 2 zz 2 x 两边对 x求导得 n 6 ,0 ,6 y z 1

为 x z 0 .

p

2 y 2 x , 1 1

p

(9) 交换积分次序1 x2

dy 02 1

1

2 y 2 y2 x 2 0

f ( x, y )dxf ( x, y )dy

dx f ( x, y )dy dx 0 0

(10)交换积分顺序

1 0

dx 2 f ( x, y)dy 0 dy y f ( x, y)dx1 y

x

x

.

二、单项选择题( 5 3 15 分)

a b c 0, 则 a b b c c a ( D ). (11)设向量 a, b, c 满足：(A) 0 , (B) a b c, (C)

b c,

(D) 3 a b .

(12)函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 连续是 f ( x, y) 在该点处存在偏导数 的( D ). (A)充分条件,(B)必要条件,(C)充要条件,(D)无关条件. (13)设 f ( x, y) 为连续函数，则积分 0 d 0 f (r cos , r sin )rdr 等于( C). (A) (C) /41

0

2/2

02/2

dx

1 x2

x1 y 2

f ( x, y)dy,f ( x, y )dx,

(B

) (D)

2/2

0

dx

1 x2

0

f ( x, y)dy,

dy

y

2/2

0

dy

1 y2

0

f ( x, y)dx.

(14)设f(x, y)与 ( x, y )均为可微函数，且 y ( x, y) 0 ,已知

( x0 , y0 )是f(x, y)在约束条件 ( x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (D). (A)若 f x ( x0 , y0 ) 0,则 f y ( x0 , y0 ) 0, (B)若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0, (C)若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0, (D)若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0

x y

f x x 0

f y y 0

(15)设 D 是 xOy 平面上以 (1,1), ( 1,1), ( 1, 1)为顶点的三角形区域， D1 是 D 在第一象限的部分，则积分 xy cos x sin y dxdyD

等于 ( A ). (A) 2 cos x sin ydxdy;D11

(B)

(C) 4 D xy cos x sin y dxdy , (D) 0.

2 xydxdyD1

三、计算题( 5 10 50分) x 5y z 0 (16)求过直线 且与平面 x 4 y 8z 12 0 夹成 4 x z 4 0 角的平面方程.

解法1 : 过直线 L的平面束方程为

x 5 y z ( x z 4) 0

题中已知平面的法向量为 n2 (1, 4, 8)从而

即 (1 ) x 5 y (1 ) z 4 0 其法向量为 n1 (1 , 5,1 )

cos 4

n1 n2 n1 n2

34

所求平面方程为

x 20y 7 z 12 0

容易验证 ， 平面x z 4 0也合于要求 .

x y b 0 在平面 上，而平面 与曲面 (17)设直线 x ay z 3 0

z x 2 y 2 相切于点 P 1, 2,5 , 试求常数 a, b.解 : 曲面z x y 上点P(1, 2, 5)处的法向量为2 2

n 2 x, 2 y, 1 (1, 2, 5) (2, 4, 1)所以切平面 的方程为 2( x 1) 4( y 2) ( z 5) 0即 2x 4 y z 5 0

将直线方程

y ( x b), z x a( x b) 3代入平面方程得

2 x 4( x b) x a( x b) 3 5 0即 (5 a) x (4b ab 2) 0

5 a 0 因而 4b ab 2 0

即 a 5, b 2.

x (18)二元函数 z xy f ( xy, ),其中f 具有二阶连续的偏导数， y 2 z 求 . x y

解:

z 1 y yf1 f 2 x y x 1 2 z 2 f 2 1 f1 y xf11 2 f12 x y y y x 1 xf 21 2 f 22 y y 1 x 2 f 22 1 f1 2 f 2 xyf11 y y

(19)求函数

并研究在点 0, 0 处该函数的全微分是否存在？2 2 解： 当x y 0时，f ( x, y)有连续的偏导数

x2 y 2 2 , x y 0 4 2 f ( x, y ) x

y 2 2 0 , x y 0

的全微分，

2 xy 4 x y f x 4 2 x y x 4 y 2 2

5

f y

x 2x y 4 2 x y x 4 y 2 2

2

2

2

由定理可知，当x2 y 2 0时，f ( x, y)有全微分

当x2 y2=0时，易知f x (0,0) f y (0,0) 0但是 z [ f x ( 0, 0) x f y ( 0, 0) y]此处 = ( x) 2 ( y ) 2

o

,所以在(0,0)处不存在微分。

10 x 2 y 2 z 27 (20)过直线 x y z 0

作曲面

3x2 y 2 z 2 27 的切平面，求此切平面的方程.解：化直线为参数方程，得 x 27 / 8, y t 27 / 8, z t从而直线方向为l 0,1,1 , 直线上已知点M 0 27 / 8, 27 / 8,0

n 6x0 , 2 y0 , 2z0 由题意可知：

假定切平面的切点P 0 x0 , y0 , z0

,则切平面法向为

3 x y z 27 M 0 P0 n l n 2 0 2 0 2 0

解得P 0有两种解，当P0 3,1,1 时， n 18, 2, 2 。此时切平面方程 9 x y z 27 0

当P0 3,17,17 时， n 18,34, 34 。此时此时切平面方 …… 此处隐藏：2469字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……