高数同济§1.10闭区间上连续函数的性质

最大值与最小值

一、有界性与最大值最小值定理函数f(x)在区间I上有定义 如果有x0 I 使得 x I都

有

f(x) f(x0) (f(x) f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值) 最大值与最小值举例:函数 f(x)=1+sinx在区间[0 2p]上，有最大值 2 和最小值 0

ymax = 2, ymin = 0;下页1

一、有界性与最大值最小值定理 最大值与最小值 函数f(x)在区间I上有定义 如果有x0 I 使得 x I都 有 f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值) 最大值与最小值举例: 函数y=sgn x 在区间(- + )内，在(- ,+ )上, ymax = 1, ymin = -1; 在(0,+ )上,

ymax = ymin = 1.下页2

应注意的问题:并非任何函数都有最大值和最小值

例如,无最大值和最小值

y 1

又如,

o

1

x

y2

1

也无最大值和最小值

o

1

2

x3

定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值 闭区间[a, b]上的连续 函数 f(x)也记作

说明:定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么 至少有一点x1 [a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2 [a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值 下页4

定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值

应注意的问题: 1. 如果函数仅在开区间内连续 2. 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

yy 12

1 1

o

x下页

o

1

2

x5

定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设 f(x) C[a b] 由定理1 M和m 使 x [a b]满足 m f(x) M 故 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在[a b]上有界 首页6

定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0 几何解释

二、零点定理与介值定理

注: 1. 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 2. 即方程 f ( x ) = 0在 (a , b)内至少存在一个实根 .下页7

二、零点定理与介值定理 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0 例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根

证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则 f(x) C[0 1] 并且 即 f(0)=1>0 f(1)=-2<0

根据零点定理 在(0 1)内至少 x 使得 f(x)=0

x 3-4x 2+1=0

这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x

下页8

二、零点定理与介值定理 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a) f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少 有一点x 使得f(x)=C 几何解释: 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有 一个交点下页9

定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a) f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少 有一点x 使得f(x)=C 证明 设j(x)=f(x)-C 则j(x)在闭区间[a b]上连续 因为f(a) f(b), 所以j(a)=f(a)-C与j(b)=f(b)-C异号 根据零点定理 在开区间(a b) 内至少有一点x 使得 j(x)=0 即f(x)-C=0 因此 f(x)=C 返回10

二、零点定理与介值定理 定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0

定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a) f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 结束11

★例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,

f (b) b. 证明 x (a , b), 使得 f (x ) = x .证令 F ( x ) = f ( x ) - x , 则F ( x )在[a, b]上连续,而 F ( a ) = f ( a ) - a 0,F ( b ) = f ( b ) - b 0,

由零点定理,

x (a, b), 使 F (x ) = f (x ) - x = 0,即 f (x ) = x .12

★例2. 设 f(x) 在[a, b]上连续 , 且恒为正 ,证明:必 使 证令 ,则

= - f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 )]2 0当

时, 取

或

, 则有

故由零点定理知 , 存在

使

即

思考题下述命题是否正确？ 如果 f ( x ) 在[a , b] 上有定义，在(a , b )内连续，且 f ( a ) f ( b ) 0 ,那么 f ( x ) 在

(a , b) 内必有零点.

思考题解答 不正确.例函数

e , f ( x) = - 2,

0 x 1 x=0 f (0) (1) = -2e 0.14

f ( x ) 在(0,1) 内连续,

但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.