2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛

一．选择题（满分36分，每小题6分）

1．函数f(x)是偶函数且f( 3) 2，则f2(3) 5f(3) 2的值为（ ）

A． 12 B．16 C．17 D．8

2．若图中给出的函数y x2 ax a的图像与x轴只有一个公共点，则a为（ ）

A．0 B．1

C．2 D．4

3．函数f(x) log1x (

161x)的零点个数为（ ） 16

A．0 B．1 C．2 D．3

4．定义在实数集R上的函数f，对于每一个x R和常数a 0，都满足方程f(x a)

A．1 2f(x) (f(x))2，若函数f的值域记为M，则（ ） 22 M B． M C． M D． M 7332

5．P为正方形ABCD内一点，PA = 1厘米，PB = 2厘米，PC = 3厘米，则 PBC的面积（单位：平方厘米）为（ ）

A．2 22 B．2 2 C．2 D．2 2 22

6．函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的周期为4的周期函数，已知f( 2) g( 2) 6且f(f(2) g(2)) g(f( 2) g( 2))1 ，则g(0)的值为（ ） 2g(20f(2))2

A．2 B．1 C．0 D． 1

二．填空题（满分64分，每小题8分）

1．求tan22.5的值.

2．设函数y f(x)定义域为R，且对任意x R都有

2f(x2 x) f(x2 3x 2) 9x2 3x 6，求f(60)的值.

3．若 x 表示不超过x的最大整数，求在平面直角坐标系xOy中满足 x y 2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.

4．如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长.

AD

CB

5．已知f(x) 1，求 1 x2

111f(1) f(2) f(3) f(2011) f() f() f()的值. 232011

6．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程ax bx c 0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积（结果用含a,b,c和圆周率 的式子表示）.

27．若二次函数f(x) ax 2x a满足f(2) f(1) f(3) f(0)，试确定实数a的取值范围. 2

8．如图，D为 ABC内点，使得 BAD BCD，且 BDC 90，已知AB 5，BC 6，M为AC

中点，求DM.

AMDBC