数学物理方法姚端正CH1作业解答

数学物理方法姚端正CH7作业解答

数学物理方法CH1作业题解答

P6习题1.1

1. 用复变量表示：

（1）上半平面； （2）左半平面

解：（1）上半平面为：Imz>0

（2）左半平面为Rez<0

4. 求下列复数的实部、虚部、模与辐角主值

（3）(3+i) 3 解：先将z=+i记为指数形式，z=3+i=2e

则z 3πi(+2kπ)6 =2e 3π i3(+2kπ)61 i(2+6kπ)1 i21=e=e= i 888ππ

11π其实部为0，虚部为 ，模为，辐角主值为 882

6. 计算下列数值：

（2）( i)5 解：先将z= i记为指数形式，z=3 i=2e

z=2e55πi5( +2kπ)6πi( +2kπ)6，则 =32ei( 5π+10kπ)6=32e i5π

6=32[cos( 5π5π)+isin( )]= 16(+i) 66

7.求解方程

(1)z3 1=0

e0=1 2π1 i= e3= +2 π i4

31e= 2解：z3=1，则z==3ei2kπ=e2kπi3 k=0 i 分别对应 k=1 2 k=2 3i2

8.设流体在点z=1+2i的流速为v=

解：即求其模及辐角主值： 3+i，求其大小和方向. 2 i

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v=

3+i(3+i)(2+i)5+5iπ===1+i，其模为2，其辐角主值为argv= 2 i554

P9习题1.2

2. 画出下列关系所表示的z点的轨迹的图形并确定它是不是区域。

（1）Imz>1且|z|<2

如图示阴影部分，不含边界线。满足区域的两个条件：（1）全由内点组成；（2）点集中任意两点可用全在点集中的折线连接；所以是区域。

P15习题1.3

2. 讨论下列函数的可微性和解析性

（1）w=z2

解：记z=x+iy，w=u(x,y)+iv(x,y)；

则w=z2=(x2 y2)+i2xy

w的实部u=x2 y2，虚部v=2xy

u v u v= 2y， =2x =2x， =2y， y y x x

可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，且满足C-R条件，

所以，w=z2在复平面可微，从而在复平面是解析的。

（2）w=zRez

解：记z=x+iy，w=u(x,y)+iv(x,y)；

则w=zRez=x2+ixy

w的实部u=x2，虚部v=xy

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u v u v=0， =x =2x， =y， y y x x

可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，但仅在z=0点满足C-R条件，所以，它仅在z=0点是可微的，但是在z=0点并不解析（因为在z=0点的邻域并不满足C-R条件）；并且在全平面均是不解析的。

3. 已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。

（1）u=x2 y2+xy， f(i)= 1+i

解：采用不定积分法：

v=∫ v

x+g(y) ①

而由C-R条件， v

x= u

y=2y x ②

所以v=∫(2y x)dx+g(y)=2xy 1

22+g(y) ③

再将v对y求偏导：

一方面，由C-R条件， v

y= u

x=2x+y， ④

另一方面，由 ③式得： v

y=2x+dg

dy ⑤

由④⑤两式得 dg

dy=y 所以g=1

2y2+c

所以v=2xy 1

2x2+1

2y2+c ⑥

再由已知f(i)= 1+i，即当x=0,y=1时，v=1 ，代入 ⑥式得c=1

2

所以，v=2xy 1

2x2+1

2y2+1

2 ⑦

则f(z)=x2 y2+xy+i(2xy 1

2x2+1111

2y2+2=(1 2i)z2+2i ⑧

（2）u=2(x 1)y， f(2)= i

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解：采用不定积分法：

v=∫

而由C-R条件， v u= = 2x+2 ② x y v+g(y) ① x

所以v=∫(2 2x)dx+g(y)=2x x2+g(y) ③

再将v对y求偏导：

一方面，由C-R条件， v u==2y， ④ y x

vdg= ⑤ ydy另一方面，由 ③式得：

由④⑤两式得 dg=2y 所以g=y2+c dy

所以v=2x x2+y2+c ⑥

再由已知f(2)= i，即当x=2,y=0时，v= 1 ，代入 ⑥式得c= 1 所以，v=2x x2+y2 1 ⑦

则f(z)=2(x 1)y+i(2x x2+y2 1)= i(1 z)2 ⑧

P22习题1.4

6.（2）解方程：ez=1+i

解：先将ez写成指数的形式：ez=2e

则z=Ln[2eπi(+2kπ)3πi(+2kπ)3 π+2kπ) (k=0,±1,±2...) 3]=ln2+Lneπi(+2kπ)3=ln2+i(

7．判断下列函数是单值的还是多值的，若是多值的，是几值？其支点是什么？

（1）z+z 1 （6）cosz z

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解：（1）因为z是单值函数，而z 1是2值的，支点是1，∞ 所以，函数z+z+1是2值的，支点是1，∞

（6）z=z|eiargz+2kπ

2，记它的两个单值分支为

argzi 2 w1=z|e argzargz w=z|ei(2π)= z|ei2= w1 2

cosw1 cosz w1则= coscos()cos()wwwz211 == w1 w1 w2

所以，cosz是2值的函数，支点与z的支点相同，是0和∞. z

8.设w=3z确定在沿负实轴割破了的z平面上，并且w(i)= i，求w( i). 解：根据已知，可设定 π<argz≤π w=z=z|e3iargz+2kπ

3 (k=0,1,2)， 是3值函数，它的三个单值分支为： argzi argzππ3,其辐角记为φ1=化范围为-<φ1≤ w1=3z|e333 (argz+2π) i(argz+2π)π化范围为<φ2≤π w2=3z|e3,其辐角记为φ2=33 (argz+4π) i(argz+4π)5π化范围为π<φ3≤ w3=3z|e3,其辐角记为φ3=33

i( π+2kπ)2已知w(i)= i，即z=i时，w= i=e，w的幅角为 π+2kπ，其中只有2

(argz+4π)

3i3π辐角在上述w1，w2，w2限定的范围内，它是在分支w3=z|e2的辐角

范围内，所以，我们应在分支w3中求解w( i). 当z= i时，argz=

w3( i)=ei(argz+4π)

3π，这时，2= eiπ

6=ei7π

6= (cosππ1+isin)= (+i) 6622

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10.（4）计算：Ln(1+i) 解：Ln(1+i)=Ln[2eπi(+2kπ)4]=ln2+i(π+2kπ) (k=0,±1,±2...) 4