2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)中档题目强化练——三

数学

北(文)

中档题目强化练——三角函数、 解三角形第四章 三角函数、解三角形

A组1 2 3 4

专项基础训练5 6 7 8 9 10

A组1 2 3 4

专项基础训练5 6 7 8 9 10

7 1.已知角 A 是△ABC 的一个内角，若 sin A+cos A= ,则 13 tan A 等于 12 A.- 5 7 B. 12 7 C.- 12 ( A ) 12 D. 5

12 7 sin A = , sin A+cos A= , 13 13 解析 由 得 5 2 2 cos A=-13 sin A+cos A=1,

5 sin A=-13, 或 cos A=12 13

12 (舍去),∴tan A=- 5 .

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π 2.函数 y=3cos(x+φ)+2 的图像关于直线 x= 对称，则 φ 的 4 可能取值是 3π 3π A. B.- 4 4 ( A ) π C. 4 π D. 2

解析 ∵y=cos x+2 的对称轴为 x=kπ(k∈Z),

∴x+φ=kπ(k∈Z),即 x=kπ-φ(k∈Z), π π 令4=kπ-φ(k∈Z)得 φ=kπ-4(k∈Z), 3π 在四个选项中，只有 4 满足题意.

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π 3.已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图像关于直线 x= 对称， 12 π 且 f 3 =0,则 ω 的最小值为 ( A ) A.2 B. 4 C.6 D.8

π π π 解析 由题意知 ω· +φ=k1π,ω·+φ=k2π+ , 12 3 2 其中 k1,k2∈Z,两式相减可得 ω=4(k2-k1)+2,又 ω>0,易知 ω 的最小值为 2.故选 A.

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π 4.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)- 3sin(ωx+φ)(ω>1,|φ|< ),且 2 π 其图像相邻的两条对称轴为 x1=0,x2= ,则 ( ) 2 π A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在 0,2 上为增函数 π B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在 0, 上为减函数 2 C.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为减函数

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解析

由已知条件得

π f(x)=2cos ωx+φ+ , 3

T π 2π 由题意得 = ,∴T=π.∴T= ,∴ω=2. 2 2 ω π 又∵f(0)=2cos φ+3 ,x=0

为 f(x)的对称轴，

π π ∴f(0)=2 或-2,又∵|φ|< ,∴φ=- , 2 3此时 f(x)=2cos 答案 B π 2x,在 0,2 上为减函数，故选

B.

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专项基础训练5 6 7 8 9 10 π 在 0,2 上有两个零

5.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m 点，则 m 的取值范围是 A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2]

( B ) D.[1,2]

π 解析 利用三角函数公式转化一下， 得 f(x)=2sin(2x+6)-m, π 它的零点是函数 y1=2sin(2x+ )和 y2=m 的交点所对应的 x 的值， 6 π ∴要在 0,2 上有两个零点，y1 和 y2 就要有两个交点， π π 结合函数 y1=2sin 2x+6 在 0,2 上的图像，

知道当 y2=m 在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点.

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3 π 6. 已知△ABC 的面积为 ， AC= 3, ∠ABC= , 则△ABC 2 3

3+ 3 . 的周长等于________1 3 解析 S= acsin∠ABC= ,得 ac=2; 2 2 ①

a2+c2-b2 根据余弦定理 cos∠ABC= ,得 a2+c2=5. ② 2ac 由①②可求得 a+c=3,则三角形周长可求.

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7.函数

π k π π - + , 0 12 (k∈Z) 4 y=tan 2x+6 的对称中心为__________________ .

kπ π 解析 ∵y=tan x(x≠ +kπ,k∈Z)的对称中心为 2 ,0 2

(k∈Z),

π kπ π kπ ∴可令 2x+ = (k∈Z),解得 x=- + (k∈Z). 6 2 12 4 π 因此，函数 y=tan 2x+6 的对称中心为 π kπ - + , 0 12 (k∈Z). 4

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8. 已知函数 2 . =________. 3

π 2 f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示， f 2 =- , 则 3

f(0)

2π 解析 由图像，可知所求函数的最小正周期为 ， 故 ω=3. 3 7π 从函数图像可以看出这个函数的图像关于点 12,0 中心对称， 7π 7π 也就是函数 f(x)满足 f 12-x =-f 12+x , π 2π π 当 x= 时，得 f 2 =-f 3 =-f(0), 故得 f(0)=2. 12 3

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3, S 为△ABC 的面积， 求 S+3cos Bcos C 的最大值， 并指出此时 B 的值.

b2+c2-a2 - 3bc 3 解 (1)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又因为 0<A<π,所以 A= 6 . 1 (2)由(1)得 sin A=2, 又由正弦定理及 a= 3得 1 1 asin B S=2absin C=2· asin C=3sin Bsin C, sin A ·

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3, S 为△ABC 的面积， 求 S+3cos Bcos C 的最大值， 并指出此时 B 的值.因此，S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). π-A π 所以，当 B=C,即 B= 2 =12时， S+3cos Bcos C 取最大值 3.

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的 2 π 图像与 x 轴的相交点中， 相邻两个交点之间的距离为 ， 2 2π 且图像上一个最低点为 M 3 ,-2 . (1)求 f(x)的解析式； π π (2)当 x∈ 12,2 时，求 f(x)的值域.

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A=2. π T π 由 x 轴上

相邻的两个交点之间的距离为2得，2=2, 2π 2π 即 T=π,所以 ω= T = π =2. 2π 2π 由点 M 3 ,-2 在函数 f(x)的图像上， 得 2sin 2× +φ =-2, 3 4π 即 sin 3 +φ =-1. 4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z,所以 φ=2kπ- 6 (k∈Z).又 π φ∈ 0,2 ,所以

解

(1)由最低点为

2π M 3 ,-2 ,得

π π φ=6, 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin 2x+6 .

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(2)因为

π π x∈ 12,2 ,所以

π π 7π 2x+ ∈ 3, 6 . 6

π π π 当 2x+6=2,即 x=6时，f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时，f(x)取得最小值-1.故函数 f(x)的值域为[ -1,2] .

B组1 2

专项能力提升3 4

5

B组1 2

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2 1.若 0≤sin α≤ ,且 α∈[-2π,0],则 α 的取值范围是( ) 2 7π 5π A. -2π,- ∪ - ,-π 4 4 5π 7π B. -2π+2kπ,- +2kπ ∪ - +2kπ,-π+2kπ (k∈Z) 4 4 π 3π C. 0, ∪ ,π 4 4 π 3π D. 2kπ,2kπ+ ∪ 2kπ+ ,2kπ+π (k∈Z) 4 4

B组1 2

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5

解析

根据题意并结合正弦线可知， π 3π α 满足 2kπ,2kπ+ ∪ 2kπ+ ,2kπ+π 4 4 (k∈Z),∵α∈[ -2π,0] , ∴α 7π 5π 的取值范围是 -2π,- 4 ∪ - 4 ,-π .

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