电路相量法和正弦稳态电路的分析

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电路分析基础Basis of Circuit Analysis

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正弦量基本要求：掌握正弦量的振幅、角频率和初相位；正弦量的瞬时值、有效值 和相位差。

一、正弦量的瞬时表达式大小和方向随时间作正弦规律变化的电压、电流等电学量统称正 弦交流电或正弦量。

i (t ) I m cos ( t ) u(t ) U m cos ( t )正弦信号三要素： 振幅：正弦量所能达到的最大值；

i

ImO

t2π

2 频率、周期、角频率：描述正弦量变化快慢的量； 2 f T 初相：决定了正弦量的初始值。

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6.1 正弦量

二、正弦量的相位差同频率正弦量的相位差，也即是初相之差，它描述了同频率正弦 量之间的相位关系。

i (t ) I m cos ( t i ) u(t ) U m cos ( t u )相位差：

u i 0 0 0 / 2 —— u 超前 i —— u 超前 i

—— u 、 i 同相—— u 、 i 正交 —— u 、 i 反相

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6.1 正弦量

三、正弦量的有效值当周期电流 i = f ( t ) 和直流 I 分别通过相同的电阻R,若二者作功的 平均效果相同，则将此直流 I 的量值规定为周期电流 i 的有效值，用 I 表 示。有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再开方：

1 I T对正弦交流电，有

T 2 i (t )dt 0

I

Im 2

0.707 I m

, U

Um 2

0.707U m

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6.2 正弦量的相量表示法基本要求：掌握正弦量的相量表示法原理、相量运算规则及相量图。

一、问题的提出正弦电路电压、电流都是随时间按正弦规律变化的函数。在含有电感 和(或)电容的正弦电路中，元件方程中含有微积分形式的方程。因此，在 时域内对正弦电路进行分析时，需要建立含微积分的电路方程，分析过程 如图所示。 正弦稳 态电路分析 建立电路方程 (含微积分方程) 求解 得时域响 应表达式

思考：正弦函数微积分或几个同频率正弦函数相加减的结果仍是同 频率正弦量。能否用一种简单的数学变换方法以避免繁琐的三角函 数运算？

u(t ) U mcos( t u )

U m, u

Ae j

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6.2 正弦量的相量表示法 二、正弦量的相量表示1、复数的表示方法 (1)直角坐标形式或三角形式：

A a jb , a Re A , b Im A A (cos jsin )+j

(2)指数形式或极坐标形式：

b0

A A e

j

或 A A a A cos b A sin

A

其中：

A a2 b2 1 b tg a

a

+1

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6.2 正弦量的相量表示法2、正弦量的相量表示

i (t ) I m cos( t i ) 2 Icos( t i ) j t j t Re 2 I e Re I m e 2 Ie j ( t i ) Re 2 Ie j i e j t Re

其中： I Ie j i I i I m 2 Ie j i I m i

正弦量与相量存在对应关系：

i (t ) I m cos ( t i )

I m I m e j i I m i

u(t ) U m cos ( t u ) U m U m e j u U m u或， i (t )

2 Icos ( t i )

I Ie j i I i

u(t ) 2 Ucos ( t u ) U Ue j u U u

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6.2 正弦量的相量表示法3、相量图

|U |0

U (1)可省略虚轴，虚线代替实轴(2)相量为一有向线段(3)只有相同频率的相量才能画在同一复平面内

例题

写出正弦量的有效值相量的极坐标形式、直角坐标形式。

(1) i (t ) 10 2 cos(314t 90 ) A

I10

I 10 90 A j10 A(2) u(t ) 220 2 cos(314t 30 ) V

0 220

30

U 220 30 V 190.5 j110 V

U

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6.2 正弦量的相量表示法已知 i1 (t ) 2 cos(100t 30 ) A ,i1 (t ) 2 2 cos(100t 45 ) A 求：i1+i2

例题

(1)三角函数法：

i1 (t ) i 2 (t ) 2 cos (100t 30 ) 2 2 cos (100t 45 ) 2.456 2 cos (100t 21 .8 )(2)相量法：

I10

I I 1 I 2 1 30 2 45 (0.866 j0 .5 ) (1.414 j1.414 ) 2.456 21 .8

II2

i1 (t ) i 2 (t ) 2.456 2 cos(100t 21.8 )

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6.2 正弦量的相量表示法

思考 练习1. 把下列正弦量表示为有效值相量：

(1) i 10cos ( t 45 ) A ( 2 ) u 220 2 cos ( t 90 )V (3 ) u 220 2 cos( t 30 )V2. 指出下列各式的错误并改正：

(1 ) u 220 2 cos ( t

4

) 220 2 e j 45 V

( 2 ) I 10 36.9 10 2 cos ( t 36.9 ) A (3 ) U 380 60 V

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6.3 正弦稳态电路的相量模型基本要求：理解相量模型的概念；理解基尔霍夫定律、电路元件端口伏安关 系的相量形式。

一、基尔霍夫定律的相量形式KCL:在任一时刻，连接在电路任一节点(或闭合面)的各支路电流 的代数和为零。 线性时不变电路在单一频率的正弦激励下(正弦电源可以多个， 但频率必须相同)进入稳态后，各处的电压、电流都将为同频率的正 弦波。

i1

ik …

i k (t ) I km cos ( t ik ) j t i k (t ) Re 2 I k e 0 k 1 k 1 m m

i2

k 1

Ik 0

m

i3

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6.3 正弦稳态电路的相量模型基尔霍夫定律的相量形式：

Im 0 U m 0

或 或

I 0 U 0

例题

已知

求 ( u1 6 2 cos t 30 )u2 4 2 cos t 60 ) u23。 (

1+

-

u2

+

2

则 U1 6 30 V 、U 2 4 60 V沿回路1231列相量

形式的KVL方程为

u1-

U 2 U 23 U1 04

3解

U 23 U1 U 2 6 30 4 60 (5.2 j3) (2 j3.5) 9.7 42.1

设代表电压u1、u2、u23 的相量分别为：

U1 、U 2 、U 23

u23 9.7 2 cos t 42 .1 ) ( V

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6.3 正弦稳态电路的相量模型

二、基本元件伏安关系的相量形式i (t ) 2 Icos ( t i ) I Ie j i I i

u(t ) 2 Ucos ( t u ) U Ue j u U u1、电阻元件

u u

u(t ) Ri 2 RIcos t i ) (U RI i R I I

iO

i

t

+j

UR U

IO

i u

+1

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6.3 正弦稳态电路的相量模型2、电感元件

u( t ) L

di 2 LIsin( t i ) 2 LIcos ( t i 90 ) dt

U LI i 90 LI i 1 90 j L I X L L 感抗： U j L I jX L I

有效值： 相位：

U LI

u i 90

UI

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