均值不等式的应用(习题+答案)(2)

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a

2

b c

22

ab bc ca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c R ，且a b c 1。求证：

1

1 1

1 1 1 8 a b c

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，

又

1a 1

1 aa

b ca

a

1a

1 aa

b ca

a

解： a、b、c R ，a b c 1。

1

。同理

1b

1

b

， 1

c

1c

。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1 1 1 1 a b c 。当且仅当时取等号。 1 1 1 8

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x 0,y 0且

1x 9y

1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。

解：令x y k,x 0,y 0,

10k

3k

1x

9y

1，

x ykx

9x 9yky

1.

10k

ykx

9xky

1

1 2

。 k 16 ，m ,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a b 1,P

lga lgb,Q

12

(lga lgb),R lg(

a b2

)，则P,Q,R的大小关系是分析：∵a b 1 ∴lga 0,lgb 0

Q

12

（lga lgb)

a b2

) lg

lga lgb p

12

lgab Q ∴R>Q>P。

R lg(ab