2012量子力学期末考试试卷及答案集(3)

的解为 已知H0

其中

En n 1

n x1,x2 n x1 n x2

1

2

（3）

n1,n2,n 0,1,2,

（4）

1,2,3, ,fn

将前三个能量与波函数具体写出来

E00 ; 0 0 x1 0 x2

E01 2 , 11 0 x1 1 x2 12 1 x1 0 x2 E0 3 , 2

21 2 x1 0 x2

22 0 x1 2 x2 23 1 x1 1 x2

对于基态而言，n1

n2 n 0，f0 1，体系无简并。

利用公式

1 nn 1

mx n

2m,n 1 2 m,n 1

可知

E 1 0 0 0

0 E 2

fn

0 n n 0

0

n 0 1

E0 E0

0n

显然，求和号中不为零的矩阵元只有

0 23 23 0

2 2

于是得到基态能量的二级修正为

2

E 2

1 2 0

E0 E04

23

024 8

第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

5）

6）

7）

8）

9）

（ （ （ （ （

1

11 E2

W12

1

W22 E2

W13W23

1

W33 E2

W21W31

0 （10）

W32

其中

W11 W22 W33 W12 W21 0

W13 W31 W23 W32 （11）

将上式代入（10）式得到

E2

1

E2

1

0 0 （12）

1

整理之，E2满足

于是得到第二激发态能量的一级修正为

E2

1

3

2 1

4E2 0 （13）

1 E21

1 1

; E 0; E 2223 2 2

（14）

1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率 、波长 之间的关系，其表达式为： E=h ,

p=h/ 。

3．根据波函数的统计解释，(x,t)

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符

2

dx的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率 。

px的对易关系为： x,p i 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数 (x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，

的 本征值 。 必定是算符F

7．定态波函数的形式为： (x,t)8．一个力学量

n(x)e

i

Ent 。

A9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。

2

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明：

,L ] i L [Lxyz

,L ] [yp z zp y,zp x xp z][Lxy

z,zp x xp z] [zp y,zp x xp z] [yp

z,zp x] [yp z,xp z] [zp y,zp x] [zp y,xp z] [yp

z,zp x] [zp y,xp z] [yp

z,zp x] [y,zp x]p z z[p y,xp z] [z,xp z]p y y[p

z,zp x] [z,xp z]p y y[p

z,p x] y[p z,z]p x x[z,p z]p y [z,x]p zp y yz[p

x x(i )p y y( i )p

y yp x] i [xp

i Lz

2、（10分）由Schrödinger 方程

证明几率守恒：

22 i (r,t) [ V(r)] (r,t) t2

J 0 t

其中几率密度

2 (r,t) (r,t) (r,t) | (r,t)|

几率流密度

i J [ ]

2

证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：

(1) (2)式得：将

22

i [ 2 V] t 2 i [ 2 V]

t2

(1)

(2)

2

i i [ 2 2 ]

t t2

2

i ） [ ] t2

在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

d 2

i （ ）d dt 2

[ ]d

di （ ）d dt 2

[

]d

d

(r,t)d Jd

dt

J 0 t

1、（10分）设氢原子处于状态 (r, , )

13

R21(r)Y10( , ) R21(r)Y1 1( , ) 22

求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。