2012量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集

量子力学期末试题及答案(A)

选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；

D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；

B. Ψ归一化后，

代表微观粒子出现的几率密度；

C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；

B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A

A. 一定也是该方程的一个解； B. 一定不是该方程的解；

C. Ψ 与 一定等价；

D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。

6．如果以l表示角动量算符，则对易运算

[lx,ly]

为：B

A. ihlz

B. ih

lz

C.i

lxlx

D.h

7．如果算符

A 、B 对易，且A

=A

，则：B

一定不是B 的本征态； A.

一定是 B的本征态； B.

C.一定是B 的本征态；

D. ∣Ψ∣一定是B 的本征态。

8．如果一个力学量

A与H 对易，则意味着A：C

A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；

D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev

3

11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+2

简并度为：B

)h 下，

A. 1

N(N 1)2；

B.

1

(N 1)(N 2)2；

C.N(N+1)； D.(N+1)(n+2)

s

12．判断自旋波函数 A. 自旋单态； B.自旋反对称态； C.自旋三态； D.

12

[ (1) (2) (2) (1)]

是什么性质：C

z本征值为1.

13.6

eVn2 ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子

二 填空题（每题4分共24分）

1．如果已知氢原子的电子能量为

En

能量为：———————————，光的波长为———— ————————。 2．如果已知初始三维波函数

(r,0) ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 (p) =——

(r,t)————————————。

'

————————（连续或不连续），它的导数

————————————，任意时刻的波函数为3．在一维势阱（或势垒） 中，在

x=x0

点波函数

————————————（连续或不连续）。 4．如果选用的函数空间基矢为

n

，则某波函数

处于

n

态的几率用 Dirac符号表示为———

———————，某算符

A 在

态中的平均值的表示为——————————。

5．在量子力学中，波函数 在算符 操作下具有对称性，含义是———————————————

———————————，与

对应的守恒量 F

一定是——————————算符。

6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—

———————————————————。 三计算题（40分）

1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x<0或x>0,

求粒子的能量和波函数。(10分)

2．设一维粒子的初态为 3．计算

4 。4个玻色子占据3个单态

B卷 一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

(x,0) Exp(ip0x/h)，求 (x,t)。

（10分）

z表象变换到 x表象的变换矩阵。

（10分）

1 ， 2， 3，把所有满足对称性要求的态写出来。

（10分）

和坐标x的共同本征函数。4、在一维情况下，求宇称算符P（6分）

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符A,B，满足

1、在A表象中算符

B 0，求 B A 2 B 2 1，且AA

、B 的矩阵表示； A

的本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在t 0时处于状态

(x,0)

1、在t

121 x( 2x2) exp 2 3 ，其中

，求

0时体系能量的取值几率和平均值。2、t 0时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

1

2 0

2 3 3 3 2 的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项。 2

四、（15分）当 为一小量时，利用微扰论求矩阵

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

1

1(q1) 2(q2) 1(q2) 2(q1) 2

,x] 2xP 和坐标x的对易关系是：[P4、宇称算符P，将其代入测不准关系知，只有当xP 0时

S

和x同时具有确定值，的状态才可能使P由 (x) ( x)知，波函数 (x)满足上述要求，所以 (x)

和x的共同本征函数。 是算符P

和G的对易关系FG GF5、设F

，k是一个算符或普通的数。以、 ik

G ， F ， G F

、和依次表示F

和k在态 G

中的平均值，令

2

2

2

) ) ( G( F

4则有

，这个关系式称为测不准关系。

时间t和能量E之间的测不准关系为：二、1、由于

t E

2

的本征值是 1，因为在A表象中，算符A 的矩阵是对角矩阵， 2 1，所以算符AA

10 (A) A 的矩阵是： 0 1 所以，在A表象中算符A

b11b12 (A) B b b B 0得：b11 b22 0；由 B A 2122 ，利用A 设在A表象中算符B的矩阵是

0 b2 于B 1，所以 21