2012量子力学期末考试试卷及答案集(2)

2H23

(0)

E2 E3(0)

4 2 9 2 5 2

，

E3(2)

2H31E3(0) E1(0)

2H32

(0)E3(0) E2

9 2

所以体系近似到二级的能量为：E1

2

1 4 2，E2 2 5 2，E3 3 2 9

1(0)

先求出

H0属于本征值1、2和3的本征函数分别为：

0 0 1

(0)(0) 1 3 0 0 2

0 1 0

， ， ，

利用波函数的一级修正公式

k(1)

i k

Hik

i(0)

(0)(0)Ek Ei

，可求出波函数的一级修正为：

1(1)

0 0 2 (1)(1)

2 1 2 3 1 0 3

3 0 0 ， ，

1 2 0 1 2 2 1 3 3

0 3 1 ， ， 近似到一级的波函数为：

五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以qi表示第i子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：

(1)(2)

(q) (q) (q) 2(q1) 2(q2) 2(q3) s111213s（1）；（2）

(3) C 1(q1) 1(q2) 2(q3) 1(q1) 2(q2) 1(q3) 1(q2) 2(q1) 1(q3)； s（3）

(4)

C[ 2(q1) 2(q2) 1(q3) 2(q1) 1(q2) 2(q3) 2(q2) 2(q3) 1(q1) （4）s

(i 1,2,3)个粒

一、（20分）已知氢原子在t 0时处于状态

1 2 0 1 1 (x,,0) (x) (x) (x)

213

01333 0

其中， n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

0

将t

En

e41

2 2n2

，

n 1,2,3, （1）

0时的波函数写成矩阵形式

1 x x

2 333 （2） (x,0) 2

x 1 3

利用归一化条件

1**

c dx x 3 x

32

3

2

1 x x 32

33 2*

1 x 32 1 x （3）

3

124 272

c c

9 999

于是，归一化后的波函数为

(x,0)

1

x 3

x x x

32

3 2 （4）

23 1

x 1 x

能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为

W E412

1,0 7;W E2,0 7;W E3,0 7

能量平均值为

E0

47E 121

7E2 7

E3 e4 41 2 7 1 17 121 161 e424 7 9 504 2自旋z分量的可能取值为

2, 2

，相应的取值几率为

W s 123

4z 2,0 7 7 7;W

sz 2,0 7 自旋z分量的平均值为

s 3 4 7 2 7 2

z014

t 0时的波函数

i (x,t) exp Ei

2

x 2t 3

x exp E3t

i 1 x exp E1t

二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动

V0

0

. x 0

V x V, 0 x 0

a

0, x a5）

6）

7）

8）

9） （ （ （ （ （

若已知该粒子在此势阱中有一个能量E

V02

的状态，试确定此势阱的宽度a。

解 对于 V0

E 0的情况，三个区域中的波函数分别为

1 x 0

2 x Asin kx （1）

3

x Bexp x 其中，

k

2m(E V0)

mE

;

2

利用波函数再x 0处的连接条件知， n ，n 0,1,2, 。

在x

a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

2 a 3 a

'

2

a '3 a

得到

Asin ka n Bexp a Akcos ka n B exp a

于是有

tan ka

k

此即能量满足的超越方程。

当

E

1

2

V0时，由于

故

mV0

a n

4

n 1,2,3, 最后得到势阱的宽度

（2）

（3）

（4）

（5）

（6） 7）

（

1

a n

4 mV0

三、（20分） 证明如下关系式

（8）

（1）任意角动量算符j满足 j j i j。

证明 对x分量有

j j j j=i j

j j

x

yz

zy

x

同理可知，对

y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。

n nnp

是一个厄米算符，其中，

投影算符

n 是任意正交归一的完备本征函数系。

n的矩阵元为 p

证明

在任意的两个状态 而投影算符

与

之下，投影算符

n nn p

n n的共軛算符pp的矩阵元为

* * n n p p p n

nn

*

n n nn

**

显然，两者的矩阵元是相同的，由利用

*

k

'

'

与

的任意性可知投影算符

n是厄米算符。 p

x x x x 证明 xp

k

k

xmn

x kn，其中， k x 为任 xmk p

k

意正交归一完备本征函数系。 证明

x mn xp

*

x n x dx m x xp

*

x n x dx m x x dx' x' x p

dx

*

m

x n x' x x dx' x' x p

'

x dx x x dx x x p

*

m

'

*k

'

'

k

k

x'

n

*m

'

k

*k

'

'

x

'

x dx x x x dx x p

n

k

x p

mk

x

k

2

kn

四、（20分） 在L与Lz表象中，在轨道角动量量子数l

、L 1的子空间中，分别计算算符Lyx

的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 与Lz

解 在L与Lz表象下，当轨道角动量量子数l皆为三维矩阵。

2

与L 、L 1时，m 1,0, 1，显然，算符Lyxz

是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有 由于在自身表象中，故Lz

100

000 （1） Lz

00 1

相应的本征解为

1

Lz ; 1 0

0 0

Lz 0; 0 1 （2）

0 L 0 0

z ; 1 1

对于算符L x

、L y而言，需要用到升降算符，即 L x 1 2 L L

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