高等代数(北大版第三版)习题答案II(3)

由归纳假设，B的一切 n 1阶的顺序主子式，即Bn 1 Tn 1An 1Tn 1的顺序主子式与An 1的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺序主子式就是B，由 B AT 1 A 1 A，

知B的n阶顺序主子式也与A的n阶顺序主子式相等，即证。

2）设n阶对称矩阵A aij，因a11 0，同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵

a110

0b22

A

0b

n2

于是由1）知

0

b2n a11

0

bnn

0

， Bn 1

a11

00

0，从而b22 0，再对Bn 1进行类似的初等变换，使矩阵A1的b22

第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将A化成对角形

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1

2

B。

n

由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti，左乘一个下三角形阵Ti ，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在T T1,T2, ,Ts，使T AT B，命题得证。

3）由2）知，存在T使

1

2

T AT B。

n

又由1）知B的所有顺序主子式与A的所有顺序主子式有相同的值，故

1 a11 0， 所以 2 0。

1

2

a11a12

a12a22

0，

1

2

a11 a1i

0，

i

所以

ai1 aii

i 0 i 1,2, ,n ，

因X TY是非退化线性替换，且

AX Y T ATY 1y1 2y2 nyn， X

由于 1, 2, , n都大于零，故X AX是正定的。 8。证明：1）如果 是正定二次型，那么

222

a

i 1j 1

nn

ij

xixj aij aji

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a11

f y1,y2, ,yn

a12 y2

a1n

yn

y1y2 yn0

a21an1y1

a22 a2nan2 ann

是负定二次型；

2）如果A是正定矩阵，那么 A annPn 1， 这里Pn 1是A的n 1阶顺序主子式； 3）如果A是正定矩阵，那么

A a11a22 ann。 4）如果T tij是n阶实可逆矩阵，那么 2

22

t12i t2i tni。 i 1n

证 1）作变换Y AZ，即

y1 a11

y2 a21

y a n n1

则

a12a22 an2

a1n z1

a2n z2

， ann zn

00

y1z1 ynzn

a11 a1n

f y1,y2, ,yn

an1 anny1

yn

A y1z1 ynzn AY Z AZ A Z AZ AZ。

因为A是正定矩阵，所以f y1,y2, ,yn 是负定二次型。

2）A为正定矩阵，故Pn 1对应的n 1阶矩阵也是正定矩阵，由1）知