高等代数(北大版第三版)习题答案II(2)

0 0 0 。

4） 令 则

由于

则

000 n0

2n 1 n 1

000 0n

y1 x1 x

y2 x2 x ，

yn 1 xn 1 x

yn xn

n

x1 2y1

yi

i 2

n

x2 y1 2y2 yi

i 3 。

n 2

xn 1 yi 2yn 1 yn i 1 xn

y

n

nn

yi

xi

n 1 x x，

i 1

i 1

n 1

2

2

y2

i n y n 1

n 1原式2

n yi yi yi

i 1i 1i 1 i 1

2 n 1 y2 i i 1 yiyj i j n 1

1

2 2

32n2

z1

4z 2n 1z 2 n 1

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2z2

31

2z2 n2

2 n 1

zn 1， 其中所作非退化的线性替换为

y1111

z1 z z zn 1

2233n 1

y z 1 223z3 14z4 1n 1z

n 1

，

yn 1

z

n 1

yn zn

故非退化的替换矩阵为

1 211 11

1 13 10

121 11 2 1n 1 1 0

112 11 01

3n T 01 1

1

0

0 111 21 n 1

000 01

000 10

000 01

20 13

0

01 0 01 2 14 1 01

。 2 3

011 n1 23n 1

000 01

又

x1 x

n

2

x

xx,x,x x x

i

x

1 2 x, n x

i 1

2

xn x

n 1

1 n

1 n n 1 1

1

n n1 x1,x2, ,xx 1n

1n n1 n

n n nn 1 n 1n n 1

1n

n 1n

1 n x1 1 n x 2 n 1 x

n n

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n 1 n 1

x1,x2, ,xx n

1 n

Z AZ， 所以

1nn 1n 1 n 1

x n 1 1

x2

n

xn n 1 n

00 200

3

0 00 02

4 00 00 TAT 。 3

n000 0

n 1

000 00

2． 设实二次型

f x1,x2, ,xn

a

i 1

s

i11

x ai2x2 ainxn ，

2

证明：f x1,x2, ,xn 的秩等于矩阵

a11

a21

A

a s1

的秩。

证 设rank A r，因

a12 a1n

a22 a2n

as2 asn

f x1,x2, ,xn X A A X，

下面只需证明rank A r即可。由于rank A rank A ，故存在非退化矩阵P,Q使 PA Q 0

从而

PA AP 令

Er

0 Er

PA 或 00 Er

0

0 1 1 QQ 0

E

0

0 1

Q， 0 0 ， 0

r

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Q则

1

B Q D

1

r

C

， M C Er M 0

0 Br

0 0

r

Er

PA AP 0

由于Q

1

1

0 Br 0 D0

。 0

Q 是正定的，因此它的r级顺序主子式B

0，从而A A的秩为r。

即证rank A rank A A 。 3． 设

f x1,x2, ,xn l1 l2 lp lp 1 lp q。

2

2

2

2

2

其中li i 1,2, ,p q 是x1,x2, ,xn的一次齐次式，证明：f x1,x2, ,xn 的正惯性指数 p，负惯性指数 q。

证 设 li bi1x1 bi2x2 binxn i 1,2, ,p q ，

f x1,x2, ,xn 的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替换

yi ci1x1 ci2x2 cinxn i 1,2, ,n ， 使得

f x1,x2, ,xn l1 l2 lp lp 1 lp q

2

2

2

2

2

y1 ys ys 1 yr。 下面证明s p。采用反证法。设s p，考虑线性方程组

2222

b11x1 b1nxn 0

bp1x1 bpnxn 0

，

cx cx 0s 1,nn s 1,11

cn1x1 cnnxn 0

该方程组含p n s个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解 a1,a2, ,an ，于是 f a1,a2, ,an lp 1 lp q y1 ys，

2

2

2

2

上式要成立，必有

lp 1 lp q 0， y1 ys 0，

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这就是说，对于x1 a1,x2 a2, ,xn an这组非零数，有 y1 0，y2 0,

,

yn 0 ，

这与线性替换Y CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 s p。

同理可证负惯性指数r s p，即证。 4． 设

A A

A11

12 AA 2122

是一对称矩阵，且A 0，证明：存在T E

X11

0

E 使 T AT A 11

0个级数与A22相同的矩阵。

证 只要令T

E0

AA 1

E ，则 E A 1

11A12 ，

2111 T 0E

注意到

A ， A 1

12 A21

11 A

1

11，

则有

T AT

E0A 12

A 1 A21A 1

11E A 11

A E

21A22 11A12

0E

AA 11

12

A 1

11A12

0 A 1 E

21A11A12 A22 0E

A11

0 0 。

即证。

5． 设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵

01 10 01

10 。

0

0

0

，其中 表示一

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证 采用归纳法。当n 1时，A 0 合同于 0 ，结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。

当n 2时

0

A a

12

故A与

1

a12 第2行乘a12 01 1 ， 0 10第2列乘a 12

01

合同，结论成立。

10

假设n k时结论成立，今考察n k 1的情形。这时

0

A

a1k a 1,k 1

a1k 0

ak,k 1

a1,k 1

，

ak,k 1

0

1ak,k 1

如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设ak,k 1 0，并将最后一行和最后一列都乘以

，则A可化成

0

a 1k b 1

a1k

b1