高等代数(北大版第三版)习题答案II

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高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 —矩阵

第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

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12．设A为一个n级实对称矩阵，且A 0，证明：必存在实n维向量X 0，使

X AX 0。

证 因为A 0，于是A 0，所以rank A n，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换X CY使

1

AX Y C 1ACY Y BY X

y1 y2 yp yp 1 yp 2 yn，

1

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z CY中，令y1 y2 yp

2

2

2

2

2

2

0,yp 1 yp 2 yn 1,则可得一线性方程组

c11x1 c12x2 c1nxn 0 cp1x1 cp2x2 cpnxn 0

，

cp 1,1x1 cp 1,2x2 cp 1,nxn 1 cn1x1 cn2x2 cnnxn 1

由于C 0，故可得唯一组非零解Xs x1s,x2s, ,xns 使

AXs 0 0 0 1 1 1 n p 0， Xs

即证存在X 0，使X AX 0。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：A B也是正定矩阵。 证 因为A,B为正定矩阵，所以X AX,X BX为正定二次型，且 X AX 0， X BX 0，

因此

AX X BX 0， X A B X X

于是X A B X必为正定二次型，从而A B为正定矩阵。

14．证明：二次型f x1,x2, ,xn 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数p 秩r，则p r。即

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f x1,x2, ,xn y1 y2 yp yp 1 yr，

2

2

2

2

2

若令

y1 y2 yp 0，yp 1 yr 1，

则可得非零解 x1,x2, ,xn 使f x1,x2, ,xn 0。这与所给条件f x1,x2, ,xn

0矛盾，故p r。

充分性。由p r，知

f x1,x2, ,xn y1 y2 yp，

2

2

2

故有f x1,x2, ,xn 0，即证二次型半正定。

n 2

15．证明：n xi xi 是半正定的。

i 1 i 1 n 2

证 n xi xi

i 1 i 1

nx1 x2 xn

n

2

n

2

222

x

2122 x2 xn 2x1x2 2x1xn 2x2x3 2x2xn 2xn 1xn

n 1 x1 x2 xn （2x1x2 2x1xn 2x2x3

2

2

2

2x2xn 2xn 1xn）

x1 2x1x2 x2 x1 2x1x3 x3 xn 1 2xn 1xn xn

22

22

22

可见：

1 i j n

x

i

xj 。

2

1） 当x1,x2, ,xn不全相等时 f x1,x2, ,xn 2） 当x1 x2 xn时 f x1,x2, ,xn

1 i j n

x x

i

xj 0。

2

i

xj 0。

2

1 i j n

故原二次型f x1,x2, ,xn 是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使 16．设f x1,x2, ,xn X

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AX 0， X2 AX2 0。 X1

AX0 0。 证明：必存在实n维向量X0 0使X0

设A的秩为r，作非退化线性替换X CY将原二次型化为标准型 X AX d1y1 d2y2 dryr， 其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使

2

2

2

AX1 0 和 X2 AX2 0， X1

故标准型中的系数d1, ,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1，q个-1， 且p q r，即

AX y1 yp yp 1 yp q， X

这时p与q存在三种可能：

p q， p q， p q 下面仅讨论p q的情形，其他类似可证。

令y1 yq 1， yq 1 yp 0， yp 1 yp q 1， 则由Z CY可求得非零向量X0使

2222

AX0 y1 yp yp 1 yp q 0， X0

即证。

17．A是一个实矩阵，证明：

rank A A rank A 。

证 由于rank A rank A A 的充分条件是AX 0与A AX 0为同解方程组，故只要证明AX 0与A AX 0同解即可。事实上

AX 0 A AX 0 X A AX 0 AX AX 0 AX 0， 即证AX 0与A AX 0同解，故

rank A A rank A 。

注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

2222

一、 补充题参考解答

1． 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果： 1）x1x2n x2x2n 1 x2x2n 1 xnxn 1；

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2）x1x2 x2x3 xn 1xn； 3）

x

i 1n

n

2i

1 i j n

2

xx

i

j

；

4）

x

i 1

i

x，其中x

x1 x2 xn

。

n

解 1）作非退化线性替换

x1 y1 y2n x y y

22n 1 2

xn yn yn 1

，

x y ynn 1 n 1

x2n 1 y2 y2n 1 x y y

12n 2n

即X TY，则原二次型的标准形为

f y1 y2 yn yn 1 y2n 1 y2n， 且替换矩阵

2

2

2

2

2

2

1 0

T

0 1

使

1

110

11

， 1 1

1 10 00 1

00

1 1

， T AT

1

1

其中

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A

1 2

2）若

y1 则

12

12

1 2 。

x1 x2 x3x x2 x3

， y2 1，

22

y1 y2 y1 y2 y1 y2

2

2

x1x2 x2x3， 于是当n为奇数时，作变换

xi xi 1 xi 2

y i

2

x xi 1 xi 2

yi 1 i i 1,3,5, ,n 2 ，

2

yn xn

则

x1x2 x2x3 xn 1xn y1 y2 y3 y4 yn 2 yn 1， 且当n 4k 1时，得非退化替换矩阵为

2

2

2

2

2

2

11 1 1 1 11

0 000 1 10

11 11 1

T 1 1 000 ，

1 10

1

当n 4k 3时，得非退化替换矩阵为

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1 1 11 1 1 1

0 000 1 10

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