热力学统计物理 第七章 玻耳兹曼统计

热力学统计物理 第七章 玻耳兹曼统计

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=>

热力学统计物理 第七章 玻耳兹曼统计

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第六章回顾

b. 几何描述

(q1,Lqr,p1,Lpr)

粒子相空间（μ 2量子态量子数。

3、简并度ω=>

热力学统计物理 第七章 玻耳兹曼统计

hΔxΔpp

p+Δp

p

h由于不确定关系ΔxΔp≈h相同的ho

x

x+Δx

L

x

=>

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全同近独立粒子全同粒子近独立粒子系统粒子数

N

E=

∑εi

i=1

N

2、确定NrNr=>

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N 个代表点N个代表点玻耳兹曼玻耳兹曼3、泡利不相容原理：不可能有自旋整数玻色、玻色11自旋整半数费米费米1/2=>

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4、分布的定义能级简并度粒子数ε1ω1ε2ω2

E, N, V确定的宏观态

L

εl

L L

ωl

a1

a2

al

L{} a表示一个分布，满足表示个分布满足 L∑ a= N,∑ aε= E; Ll

l

l

l

l

l

N! alΩ M .B{a l}=ω∏ l A玻耳兹曼系统(玻耳兹曼分布) A. a !∏ l lB.玻色分布Ω= B. E C.费米分布 C

分布对应的微观态数

(ωl+ al 1)!∏ al !(ωl 1)! leα+βε l

l

a l=ω l e α βε l

al=

ωlm1热统

Ω F .D

ωl !=∏ l al !(ωl al )!

=>6

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al=

e

α+βε l

ωlm1

e>> 1

α

a l=ω l e α βε l

玻色分布和费米分布趋

向于玻耳兹曼分布。

满足经典极限条件时，玻色(费米)系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻尔兹曼分布平衡态遵从玻尔兹曼分布。

热统

=>7

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定域粒子组成的系统如晶体中的原子或离子定域在其平衡定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根据其平衡位置而加以区分在这意义下可以将定域粒子看做据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统(定域系统)遵从玻尔兹曼分布。玻耳兹曼系统(玻耳兹曼分布)

N! alΩ M .B{a l}=ω∏ l∏ al! ll

∑al

l

= N,

∑aεl l

l

= E;

al=ω l e

α βε l

热统

=>8

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§7.1 7 1热力学量的统计表达式一、玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布a l=ω l e α βε lN= U=令则∞∞

∑∑∞ l=0∞

l=0

al=

∑

l=0

ω l e α βε∞

l

a lε l=

∑l

l=0

ε lω l e α βε

l

Z1=

∑

l=0

ω l e βε α

叫配分函数

N= Z 1e

e热统

α

N= Z1

=>9

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二、热力学量1.内能

U=

∑

∞

l=0

ε lω l e α βε

l

α= e ( β

∑

∞

l=0

ω l e βε )l

N Z 1 ln Z 1= ( )= N Z1 β β2.功εl

统计表达式al '

dU= dW+ dQ

εl

M Mε1ε0

能级不变分布变布变

al

ε1ε0εl'

MU=

al

∑

∞

l=0

a lε l

ε 1'ε0'热统

能级变分布不变

=>10

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dU=

∑ a dεl=0 l

∞

l

+

∑εl=0

∞

l

da l

能级ε l的值，是力学方程在指定的边界条件下的解。力学系统不变，方程不变，能级变，只有边界条件变。改变边界，即做功。每个粒子受力：f l= α

能级变分布不变外界对系统的力

能级不变分布变

ε l y

ε l ε l Y=∑ al=∑ω l e α βε l y y l l

1 βε l= e ( ω e )∑ lβ y l

N 1 1 ln Z 1= Z1= N Z 1β yβ yN ln Z 1 p=β V

y= dy y∑功 Ydyl

ε l al y

广义力统计表达式热统

=∑ al dε ll

=>11

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3.熵由得

dQ dU Ydy== dS T T

dQ= dU Ydy ln l Z1 1 ln l Z1= Nd ( )+ N dyβ y β

等式两边同乘β:β (dU Ydy Yd )= Nβ d ( ln Z 1 ln Z 1 )+ N d dy y βfl= ε l y

而

Z 1=∑ω l e βε ll=0

∞

且

所以

Z1= Z1(β, y)热统

=>12

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求全微分之前求得

d ln Z 1=

ln Z 1 ln Z 1 dβ+ dy β y

β (dU Ydy )= Nβ d (

ln Z 1 ln Z 1 )+ N dy β y

ln Z1= d ( N ln Z1 Nβ ) β

由得到

dQ dU Ydy== dS T T

ln Z1 N dS= d( (ln Z1 β )βT β ln Z1= Nkd (ln Z1 β ) β熵

其中令β=

1 kT

ln Z 1 S= Nk (ln (l Z 1 β )

β热统

=>13

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三、熵的统计意义熵的统计意义S= Nk (ln Z 1 β ln Z 1 ) βe α=

ln Z 1 U= N βN Z1

= Nk ln Z 1+ kβ U

ln Z 1= ln N+α

= Nk ln N+ Nkα+ kβU= k[ N ln N+ Nα+β U]= k[ N ln l N+∑ (α+ββε l )al]l

N= U=

∑al=0∞ l=0

∞

l

∑aεl

l

= k[ N ln N+∑ a l lnω l ∑ a l ln a l]l l

a l=ω l e α βε l

S= k lnΩ

玻尔兹曼关系热统

α+βε l= ln

ωlal

=>14

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S= k ln lΩ说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数 2、满足经典极限条件的不可分辨(玻色，费米)系统

ln Z 1 U= N β对于玻色、费米分布

1 ln Z 1 Y= Nβ y

N ln Z 1 p=β V

Ω B.E .

Ω M .B.==Ω F .D. N! ln Z 1 S= Nk (ln Z 1 β ) k ln N ! β热统

Ω M .B S= k ln N!

=>15

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自由能对于定域系统

F= U TS= N ln Z 1 ln Z 1 ) TNk (ln Z 1 β β β

= NkT ln Z 1满足经典极限条件的玻色、费米系统

F= U TS= N ln Z1 ln Z1 TNk (ln Z1 β )+ kT ln N ! β …… 此处隐藏：2345字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……