2011年成人高考专升本高等数学考前模拟真题和答案

成考

2011年成人高考专升本高等数学考前模拟真题和答案

一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1. 设函数 ， 是 的反函数，则（ ）

A. B.

C. D.

令

，反函数为 ，选B

*2. 若 是 的极值点，则（ ）

A. 必定存在，且

B. 必定存在，但 不一定等于零

C. 可能不存在

D. 必定不存在

应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在

*3. 设有直线 ，则该直线必定（ ）

A. 过原点且垂直于x轴

B. 过原点且平行于x轴

C. 不过原点，但垂直于x轴

D. 不过原点，且不平行于x轴

直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。

*4. 幂级数 在点 处收敛，则级数 （ ）

A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 有关

在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。

5. 对微分方程 ，利用待定系数法求其特解 时，下面特解设法正确的是（ ）

A. B. C. D.

二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

*6. _________________.

7. 设 ，则 _________________.

*8. 设 ，则 _________________.

解：

*9. _________________.

解

成考

10. 设 ，则 _________________.

*11. 已知 ，则过点 且同时平行于向量 和 的平面的方程为_________________. 面的法向量为

平面的方程为 即

12. 微分方程 的通解是_________________.

*13. 幂级数 的收敛区间是_________________.

解：令 ，

由 解得， ，于是收敛区间是

14. 设 ，则与 同方向的单位向量 _________________.

*15. 交换二次积分 的次序得 _________________.

解：积分区域如图所示：D： ，于是

三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。

*16. 计算

解：

*17. 设 ，求

解：

18. 判定函数 的单调区间

19. 求由方程 所确定的隐函数 的微分

*20. 设函数 ，求

解：设 ，则 ，两边求定积分得

解得： ，于是

21. 判定级数 的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？

22. 设 ，求

23. 求微分方程 的通解

*24. 将函数 展开为麦克劳林级数

解：

（ ）

成考

即

25. 设 ，求

26. 求函数 在条件 之下的最值。

*27. 求曲线 的渐近线

解：（1）

曲线没有水平渐近线

（2） ，曲线有铅直渐近线

（3）

所以曲线有斜渐近线

*28. 设区域为D： ，计算

解：积分区域如图所示（阴影部分）

【试题答案】

一.

1. 令

，反函数为 ，选B

2. 应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在

3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。

4. 在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。

5. 特征根为 ，由此可见 （ ）是特征根，于是可设 ，应选C。

二.

6.

7.

8. 解：

9. 解

10.

成考

（ ）

11. 平面的法向量为

平面的方程为 即

12. 解：

通解为

13. 解：令 ，

由 解得， ，于是收敛区间是

14. ，

15. 解：积分区域如图所示：D： ，于是

三.

16. 解：

17. 解：

18. 解：

当 时， ，函数单调增加；当 或 时， ，函数单调减少，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为

19. 解：方程两边对 求导（注意 是 的函数）：

解得

20. 解：设 ，则 ，两边求定积分得

解得： ，于是

21. 解：（1）先判别级数 的收敛性

成考

发散

发散

（2）由于所给级数是交错级数且

<1>

<2>

由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。

22. 解：

23. 先求方程 的通解：

特征方程为 ，特征根为 ， ，于是齐次方程通解为 ……（1）

方程中的 ，其中 不是特征根，可令

则 ，

代入原方程并整理得

，

……（2）

所求通解为

24. 解：

（ ）

即

25. 解：因 由 得

，从而

26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值

当 时，函数取到最大值

当 时，函数取到最小值0

27. 解：（1）

曲线没有水平渐近线

（2） ，曲线有铅直渐近线

（3）

成考

所以曲线有斜渐近线

28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）