高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(2)

维线性空间中，设有线性变换与向量

使，但。证明：在中存在一个基，使在该基下的矩阵为

。

证明：由习题7.1.6知：维线性空间的向量组，，

，线性无关，且有

个向量，即构成的一组基，而线性变换

作用此基有：，

，

……………

，

。

故在基，，，下的矩阵为：

。

习题7.2.7设是数域上维线性空间的全体线性变换组成的数域上的线性空间，试求，并找出中的一个基。

求证：任取的一组基，令为到

的映射：

，其中。由引理7.2.6及定理

7.2.7知

为同构映射，即

。所以它们的维数相同，而，故。

现

取

，，使

得

，即

，

。已知

，

是的一组基，故，为的一组基。

习题7.2.8证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。

证明：在某组确定的基下，数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射，因为与一切阶方阵可交换

的方阵为数量矩阵，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换。

习题7.2.9设是维线性空间的一个线性变换，如果在的任意一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。

证明：设

在基

下的矩阵为

，只要证明为数量矩阵即可。设

为任意可逆矩阵，令，则