1-1数学物理方程及其定解条件

数学物理方法

信息与通信工程学院 李莉 lili66@

教学目的

通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导 方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分 离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟 悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的 性质和应用。 通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学 的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为 电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能 力打下基础。

数学物理方法：数学物理方程+特殊函数

数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中 导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程和 积分方程。特殊函数

与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数和反三角函数3

主要内容

第4章 数学物理方程及其定解条件 §4.1 基本方程的建立 §4.2 定解条件 §4.3 定解问题的提法 §4.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简 第5章 分离变量法 §5.1 (1+1)维齐次方程的分离变量法 §5.2 二维Laplace方程的定解问题 §5.3 非齐次方程的解法 §5.4 非齐次边界条件的处理4

第6章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §6.1 二阶常微分方程的级数解法 §6.2 Sturm-Liouville(斯特姆--刘维尔)本征值问题第7章 Bessel函数的性质及其应用 §7.1 Bessel方程的引入 §7.2 Bessel函数的性质 §7.3 Bessel函数的应用 *§7.4 修正Bessel函数 *§7.5 可化为Bessel方程的方程

第8章 Legendre 多项式及其应用 §8.1 Legendre 方程及Legendre 多项式的引入 §8.2 Legendre 多项式的性质 §8.3 Legendre多项式的应用 *§8.4 关联Legendre 多项式及其应用 *§8.5 其它特殊函数方程简介

第9章 行波法与积分变换法 §9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式 §9.2 三维波动方程的Poisson公式 §9.3 Fourier积分变换法求定解问题 §9.4 Laplace变换法解定解问题

第10章 Green函数法 §10.1 引言 §10.2 函数的定义与性质 §10.3 Poisson方程的边值问题 §10.4 Green函数的一般求法 §10.5 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函 数

教学基本要求

掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其 应用。

学习方法物理过程 数学模型 数学解 物理解 物理现象

第4章 数学物理方程及

其 定解条件——典型方程和定解条件的导出

§4-1 基本方程的建立

基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的 数学表达 任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某 类物理现象所满足的数学物理方程 常用的方法：微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这 一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到 所研究问题满足的数学物理方程 规律法：将物理规律(比如Maxwell方程组)用(容易求解 的)数学物理方程表示出来 统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理 方程，常用于经济、社会科学等领域。10

§4.1.1 波动方程1.

均匀弦的微小横振动

设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作微小横振动的规律。 所谓“横向”是指全部运动出现在一个 平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方 向运动。 所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们 的高于一次方的项可以忽略不计。 弦是均匀的，设其线密度为 ;O

uT'M'

'

dsM

gdsTN

x

N' x dx

x

设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M,其位移MN记为u。 显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即

u u ( x, t )采用微元法来建立位移u满足的方程：

uT'M'

'

把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。

dsM

gdsTN

在弦上任取一弧段 MM

' ,其长度为 ds,'

弧段两端所受张力为 T 和 T

O

x

N' x dx

x

是弦的线密度由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。12

现在考虑弧段 MM 在t时刻的受力和运动情况。 根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的 质量乘以该方向上的运动加速度。u T'

'

在x方向弧段 MM 受力总和为

'

M'

'

T cos T cos '

'M

ds

由于弦只做横向运动，所以T

gdsN

T cos T ' cos ' 0

O

x

N' x dx

x

按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M’点处切线 的倾角都很小，即：

0, ' 013

由

cos 1 '

22!

44!

略去 和 的所有高于一次方的项时，就有

cos 1,代入式

cos ' 1' '

uT'M'

T cos T cos 0

'

dsM

便可近似得到：

T T

'T

gdsN

在u方向弧段 MM 受力总和为' '

'

O

x

N' x dx

x

T sin T sin gds,' 其中

, gds 是 MM 的重力。

当

0, ' 0

时，

2 u ( x, t ) 小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为 ， 2 t 小弧段的质量为 ds

u x, t sin tan , 2 x 1 tan u x dx, t ' ' sin tan , x 2 u x, t ds 1 dx dx. O x tan

uT'M'

'

dsM

gdsTN

x

N' x dx

x

2 u x, t ' ' 由牛顿第二定律有 T sin T sin gds ds t 2 2 u x dx , t u x , t u x, t 将近似式代入，T dx gdx 2 x x t 15

2u x , t u x dx, t u x, t T dx(*) gdx 2 x x t 上式左端方括号的部分是由于x产生 dx 的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：

u ( x, t ) x

u x dx, t u x, t u x, t 2u x , t dx dx 2 x x x x x所以式(*)变为 或

2 u x, t 2 u x, t g dx dx T 2 2 x t 2 2 T u x, t u x, t g 2 2 x t

u 2 ( x, t ) 一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 要比g大得多， t 2 所以可以把g略去。

可得：

2 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) …… 此处隐藏：2277字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……