工程光学讲稿(衍射)

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第十一章 光的衍射第一节 光波的标量衍射理论一、光的衍射现象

‘光线’拐弯了！

S

?

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光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，

弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。衍射是光传播过程中的一个基本现象，对干涉、衍射与偏 振等现象的研究，构成了波动光学的核心。 在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉，与此相 反，光的直线传播行为给人们的印象却很深。

这是由于光的波长很短，以及普通光源是不相干的面光源。这两方面的原因使得在通常条件下，光的衍射现象很不显著。 光只有在它所遇到的障碍物的大小与波长具有可比性，衍 射现象才变的明显。

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按光源、衍射屏和观察屏的大小及距离可以将衍射分为两类：

(1)菲涅耳衍射：光源和屏相对障碍物的距离，至少有一个是有限远。(2)夫琅和费衍射：光源和屏相对障碍物的距离，均是无限远。

S光源衍射屏

光源 接收屏 障碍物接收屏

二、惠更斯-菲涅耳原理1、惠更斯原理 在波传播的任意时刻，波阵面上的每个点都可看成发射球面次波的波源， 在随后的某个时刻，这些此波的波面的包络面就是该时刻的波阵面，波阵面的

法线方向是光的传播方向。

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根据慧更斯原理，从点光源s发出的光源，在遇到 孔经为a的小孔时，小孔露出的波面上的各点都是 发出次波的波源，这些次波的包络面，即为新的波S

D

a

阵面。从图可以看出，新的波阵面已绕过圆孔的边缘，进入圆孔的几何阴影区，即超出SD和SD’锥体 之外。 惠更斯原理成功的解释了产生衍射现象的可能性，但它不能确定光波通过 衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。 2、慧更斯-菲涅耳原理 原理：从单色点光源s出发的某时刻波阵面Σ上的各点都是相干次波源，它们将 发出相干次波，屏上P的光强就取决于这些相干次波在该点的叠加结果。4

D' K

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下面导出慧更斯-菲涅耳原理的数学表达式，考察单色光源S对空间任意P

点的作用。在Q点处取面元dσ,面元发出的子波在P点产生的复振幅与在面元上的复 振幅、面元大小和倾斜因子K(θ)成正比。面元dσ在P点产生的复振幅可以表示

为:

~ A exp(ikR) exp(ikr ) dE ( P ) = cK ( ) d R rS

Z R Q Σθ

r

P

K(θ)表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角θ的变化。 ( θ称为衍射角)c为一常数, r =QP。Σ Z'

菲涅耳假设：当时θ=0 ,倾斜因子K有最大值，随着增加θ↑ ,K减小，

当 ≥π /2时，K=0。 (实验证明是不对的)对P点产生作用是波面∑中界于z z’范围内的波面∑上的面元发出的

子波。 则：

~ cA exp(ikR) exp(ikr ) E (P ) = K ( ) d R r

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上式为慧更斯-菲涅耳数学表达式，原则上可任意的孔径或屏障的衍射问题， 但实际计算积分是很复杂，求解此公式主要问题：K(θ)没有确切的表达式。 一般式：~ ~ exp(ikr ) E (P ) = c E (Q ) K ( )d r

三、菲涅耳-基尔霍夫衍射公式(需要确定C、K(θ))公式：

1 c= , iλ

cos (n,r)- cos (n,l) K (θ ) = 2 A exp(ikl ) exp(ikr ) cos (n,r)- cos (n,l) ~ E ( P ) = dσ iλ Σ l r 2

上式表示单色点光源发出的球面波照射到

孔径Σ,在Σ后任意一点P处产生的光振动的复振幅。式中l是点源s到Σ任意一点Q的距离，r是 Q点到P点的距离，(n,l)和(n,r)分别为孔径面 Σ的法线与l和r方向的夹角。6

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如果点光源离开孔径足够远， 使入射光可以看成为垂直入射到孔 径的平面波那么对于孔径上各点都 有： cos ( n, l ) = -1 cos (n , r ) = cosθ

1 cosθ 则： k ( ) = 2当光线接近于正入射时 exp(ikl ) exp(ikR ) l R 将近似条件代入得到：

菲涅耳-基尔霍夫衍射近似公式

A e xp(ikR) e xp(ikr) (1 cos ) ~ E( P ) = d r i R 2

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三.基尔霍夫衍射公式的近似：

(一)初步近似⑴ l 或平面单色波入射,

cos(n, l ) = 1 , z1 >>衍射屏和观察屏范围，取 cos(n,r)=cos00≈1

k(θ) ≈1(2) 取r ≈z1, 经过近似上式可

写为：~ E( P ) = 1 i z1

~ E (Q ) e xp( )d ikr8

(二)菲涅尔近似和菲涅尔衍射计算公式

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对于具体的衍射问题，还可作更精确近似：为此取坐标系如图所示 则

r = z12 ( x x1 ) ( y y1 )2 2

2 2 12

y1

x1 Q

y r z1

P

x

x x y y 1 1 = z1 1 z z 1 1

C ∑ K

P0 E

式中(x1,y1)、(x, y)分别是孔径上任一点 Q和观察屏上考察点P的坐标值。 对于上式作二项式展开，得：

1 ( x x )2 ( y y )2 1 ( x x )2 ( y y )2 2 1 1 1 1 r = z1 1 2 4 2 z1 8 z1 当z1大到使第三项以后各项对位相kr的作用远小于π 时，第三项以后各项即可忽略。9

(

) (

)

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(( x x1 )2 ( y y1 )2 )2 kz1 4 8z1

或 z 3 1 ( x x ) 2 ( y y ) 2 1 1 1

4

2 max

1 ( x x1 )2 ( y y1 )2 r = z1 1 2 2 z1 此为菲涅耳近似。此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。 菲涅耳衍射的计算公式：~ E ( x, ~ ) = exp(ikz1 ) E ( x1 , y i z1

)exp ik ( x x1 )2 ( y y1 )2 dx1dy1 y1 2 z1

(三)夫

琅和费近似和夫琅和费衍射公式

在菲涅耳近似中,

1 ( x x1 )2 ( y y1 )2 r = z1 1 2 2 z1

(

)

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x 2 y 2 xx1 yy1 x1 y1 = z1 2 z1 z1 2 z12

2

( x y1 ) 当第四项 k 1 或 2 z12 2

时, 该项可以忽略。

此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：

~ E ( x,

ik 2 exp(ikz1 ) ~ 2 y) = exp x y E ( x1 , iλλ1 2 z1

(

)

ik y1 )exp xx1 yy 1 dx1dy1 z1

第二节 典型孔径的夫琅和费衍射一、衍射系统与透镜作用1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。

夫琅和费衍射对z的要求λ=600nm,

(x

2 1

y2 1

2 1 max2

)

( x ,y1) 1

(x,y ) L2

= 2cm

2

L1S

P

(x z

y1

)

max

330m

f

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即只有在很远距离上才能观察到夫琅和费衍射条纹，在实验室中很难 实现。即使设法实现，在观察面上的辐照度也将相当微弱。

通常观察夫琅和费衍射的方法是在衍射光栏后方紧靠孔径处放置一个透镜，在透镜后焦面上即可呈现夫琅和费衍射图形。

二、夫琅和费衍射公式的意义如果将透镜L2放在衍射屏上, 此时, z1 …… 此处隐藏：2857字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……