2014届高三数学一轮复习专讲专练：2.10函数模型及其应用

1.三种增长型函数模型的图像与性质函数 y=ax(a>1) 增函数 越来越快 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳

在(0,+∞)上的增减性 增长速度

随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表现 随n值变化而 图像的变化 为与 y轴 平行 为与 x轴 平行 不同

2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 在区间(0,+∞),无论n比a大多少，尽管在x的一定范

围内ax会小于xn,但由于ax的增长存在一个x0,当x>x0时有 . ax>xn

快于 的增长，因而总 xn

(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)

对数函数y=logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会 慢于 y=xn的增长速度，因而在定义域内logax<xn . 总存在一个实数x0,使x>x0时有 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数， 但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在 (0,+∞)上，总会存在一个x0,使x>x0时有 ax>xn>logax. .

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下 列选项中正确的是 ( )

A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析：由图象知，当x∈(4,+∞)时，增长速度由大到 小依次为g(x)>f(x)>h(x).

答案：B

2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组

实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 x y 1.95 0.97 3.00 1.59 3.94 1.98 5.10 2.35 6.12 2.61 ( )

A.y=2x B.y=log2x 1 2 C.y= (x -1) D.y=2.61cos x 2 解析：通过检验可知，y=log2x较为接近.答案：B

3.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧 时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图 象表示为图中的 ( )

解析：由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.

答案：B

4.一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使 成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数 x(0<x≤m)的函数，其关系式y=f(x)可写成_______.

解析：依题意有y=a(1-p%)x(0<x≤m).答案：y=a(1-p%)x(0<x≤m)

5.有一批材料可以建成200 m的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围

成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的 矩形最大面积为______________.(围墙厚度不计)200-x 解析：设矩形的长为 x m,宽为 m,则 S= 4 200-x 1 x· = (-x2+200x). x=100 时， max=2 500 m2. 当 S 4 4

答案：2 500 m2

1.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量

关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字

语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学 模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下：

2.解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.

一次函数与二次函数模型[例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家

科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二 氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与 1 2 月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y= x - 2 200x+80 000, 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 100 元.

该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润； 如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单 位不亏损？[自主解答] 设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y 1 =100x- 2x2-200x+80 000

1 2 =- x +300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2

因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时，S 有最大值-40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损.

1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数 大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建一次函数 模型，利用一次函数的图像与单调性求解. 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积 问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利 用二次函数图像与单调性解决.

3.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.

1.一根均匀的轻质弹簧，已知600 N的范围内，其长

度y(m)与所受拉力x(N)成一次函数关系，现测得当它在100 N的拉力作用下，长度为0.55 m;在300 N 的拉力作用下长度为0.65 m,那么弹簧在不受拉力 作用时，其自然长度是多少？当在700 N的拉力下， 弹簧会出现什么情况？

解：设y=kx+b(k、b为常数), 由题意知当x=100时，y=0.55,即0.55=100k+b; 当x=300时，y=0.65,即0.65=300k+b. k=0.000 ∴ b=0.5.

5 ,

∴y=0.000 5x+0.5(0≤x≤600). 当x=0时，y=0.5. ∴当弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是0.5 m,而 当受力为700 N时，此弹簧已受破坏.

分段函数模型

[例 2]

(2012· 孝感统考)某公司生产一种产品，每年

需投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这样的产 品，还需增加投入 0.25 万元，经市场调查知这种产品年 需求量为 500 件，产品销售数量为 t 件时，销售所得

的 1 2 收入为 0.05t-20 000t 万元.

(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销 售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x), 求f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得 的利润最大？

[自主解答]

1 (1)当 0<x≤500 时， f(x)=0.05x- x2 20 000

x x2 19 1 0.25× =- +0.5 - + x- , 100 20 000 400 2

1 当 x>500 时 ， f(x) = 0.05×500 - ×5002 - 20 000 x 1 0.25× =12- +0.5 x, 100 400

1 19 1 2 -20 000x +400x-2,0<x≤500, 故 f(x)= 12- 1 x,x>500. 400