正弦函数、余弦函数周期性

正弦函数、余弦函数周期性

正弦函数、余弦函数的 性质—周期性

正弦函数、余弦函数周期性

一.创设情景，引入课题

问题1:今天是星期三， 7天后是星期几？1 4天后呢？

问题2:物理中的单摆运动、圆周运动规律如何？

正弦函数、余弦函数周期性

回顾：怎样由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象？终边相同的角有相同的三角函数值

y=sinx,x∈[0,2π]的图象将图象左右平移

y=sinx,x∈R的图象

正弦函数、余弦函数周期性

2

从图象看：正弦函数图象每经过一段( 2π、 4π、 6π… )后重复出现。 从函数值看：函数值有“周而复始”的变化规律。可从两个角度来反映：(1)正弦线变化规律； (2)诱导公式： sin(x+2kπ)=sinx, (k∈Z) 即：当自变量x的值增加一个定值2kπ(2π的整数倍)时，函数值重复出现。

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

正弦函数、余弦函数周期性

二、观察抽象，形成概念

问题 ： 能不能从正弦函数周期性归纳出一般函数的周期性？

周期函数及周期的定义： 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫 做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 2 2 是它的周期吗？ 问：(1)对于函数y=sinx, x∈R,有 sin( ) sin 成立，能说 6 3 6 3注：对定义域内的任何一个值x ,f(x+T)=f(x)恒成立 (2)正弦函数y=sinx,x∈R的周期是什么？ 注：周期不唯一。周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期. 结论：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (3)函数f(X)=2是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注：周期函数不一定有最小正周期。 三、讨论问题，剖析概念

正弦函数、余弦函数周期性

例1、求下列函数的周期

(1) y 3 sin x, x R (2) y sin 2x, x R1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6课本练习思考：从上面几个例子归纳一下这些函数的周期只 与解析式中哪个量有关？

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四、拓广延伸，总结方法

A sin( x ) A sin( x 2 ) A sin[ ( x 结论：

2

) ]

y A sin( x )( A 0, 0)的周期为

T

2

2

( 0)

y A cos( x )( A 0, 0) 的周期为

T

( 0)

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练习：判断下列说法是否正确？(1) y 2 sin(

3

x 2) 的周期为

2

(2)

y cos(

6

2

x)的周期为4

(3) y sin( x 4) 的最小正周期为2,则 解析：(1)错误

T=6

(2)正确

(3)错误

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探究:求下列函数的周期(1) y

sin x

(2)

y s in x

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五、小结：1、周期函数的定义： 一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的

每一个值时，都有f(x)=f(x+T), 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函 数的周期. 2、求周期方法： 利用定义、公式： 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ), x∈R (其中A,ω,Ψ为常数，且A≠0,ω>0)的周期 T=2π/ω.

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