2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：3.1.2 瞬时变

数学3．1.2瞬时变化率——导数(二)

学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的意义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．

知识点一导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为____________________．

知识点二导数与导函数的关系

思考导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？

梳理(1)导函数的定义

若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是________________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．

(2)f′(x0)的意义

f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的____________．

类型一求函数的导函数

例1求函数y＝－x2＋3x的导函数．

数学

反思与感悟 利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值．

跟踪训练1 求函数f (x )＝x －1x

的导函数．

类型二 导数几何意义的应用

命题角度1 求曲线过某点的切线方程

例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74

)的切线方程．

反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤

(1)设切点(x 0，y 0)；

(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0

； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．

跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．

命题角度2 导数几何意义在图象上的应用

例3 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)

反思与感悟 (1)弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键．

数学

(2)导数与函数图象升降的关系

①若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)<0(即切线的斜率小于零)，

则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的；

②导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．

1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．

2．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.

3．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a

＝________. 4．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.

5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.

1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本