数值分析第五版习题总结

第一章 绪论

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

*****

出它们是几位有效数字：x1 1.1021,x2 0.031, x3 385.6, x4 56.430,x5 7 1.0. *解：x1 1.1021是五位有效数字； *x2 0.031是二位有效数字； *x3 385.6是四位有效数字； *x4 56.430是五位有效数字；

*错 x5 7 1.0.是二位有效数字。

********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1,(2) x1. /x4 x2 x4x2x3,(3) x2****其中x1均为第3题所给的数。 ,x2,x3,x4

解：

1

21*

(x2) 10 3

21*

(x3) 10 1

21*

(x4) 10 3

21*

(x5) 10 1

2

(x1*) 10 4

***

(1) (x1 x2 x4)*** (x1) (x2) (x4)

111 4 3 3 10 10 10222 1.05 10 3

***

(2) (x1x2x3)

********* x1x2 (x3) x2x3 (x1) x1x3 (x2)

111

0.031 10 1 0.031 385.6 10 4 1.1021 385.6 10 3

222

0.215

**

(3) (x2/x4)

****

x2 (x4) x4 (x2)

*

x4

2

11

0.031 10 3 56.430 10 3

56.430 56.430

10 5

6．设Y0

28，按递推公式Yn Yn 1

（n=1,2,…） 计算到Y

100 27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？

解： Yn Yn 1

Y100 Y99

Y99 Y98

Y98 Y97

……

Y1 Y0

依次代入后，有Y100 Y0 100即Y100 Y0

27.982, Y100 Y0 27.982

1*

(Y100) (Y0) (27.982) 10 3

2

1

Y100的误差限为 10 3。

2

N 11

dx？ 8．当N充分大时，怎样求 N1 x2

N 11

dx arctan(N 1) arctanN 解 N1 x2

设 arctan(N 1), arctanN。 则tan N 1,tan N.

1 N1 x2dx

N 1

arctan(tan( ))

tan tan

arctan

1 tan tan N 1 N

arctan

1 (N 1)N

1

arctan2

N N 1

11．序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1 (n=1,2,…),

若y0 1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解： y0 1.41

1

(y0*) 10 2

2

又 yn 10yn 1 1 y1 10y0 1 (y1*) 10 (y0*) 又 y2 10y1 1 (y2*) 10 (y1*)

(y2*) 102 (y0*)......

(y10*) 110 y(0*)

10

10

1

1 022

18 102

计算到y10时误差为

1

108，这个计算过程不稳定。 2

12

．计算f

1)6 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

3

,

,

，

99 (3

解：设y (x 1)6，

若x

1

x* 1.4，则 x* 10 1。

2

计算y值，则 1

x* *7

(x 1)

y*

6**

y x *7

(x 1)

y* x*

若通过(3 3计算y值，则

y* (3 2x*)2 x* 6

y* x* *

3 2x

y* x*

计算y值，则 1

x* *4

(3 2x)

y*

1

y* x* *7

(3 2x)

y* x*

计算后得到的结果最好。

第二章 插值法

4．设为互异节点，求证： （1）

n

xl(x) x

kjjj 0n

k

n, ) (k 0,1,

（2）证明

(x

j 0

j

n, ) x)klj(x) 0 (k 0,1,

（1） 令f(x) x

k

若插值节点为xj,j 0,1, ,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)

xl(x)。

kjjj 0

n

f(n 1)( )

插值余项为Rn(x) f(x) Ln(x) n 1(x)

(n 1)!

又 k n,

f(n 1)( ) 0

Rn(x) 0

k

n, ) xkjlj(x) x (k 0,1,j 0n

n

(2) (xj x)klj(x)

j 0

( Ckjxij( x)k i)lj(x)

j 0n

i 0i

k

nn

C( x)( xijlj(x))

k i

i 0

j 0

n

又 0 i n 由上题结论可知

xl(x) x

kjj

i

j 0

n

原式 Cki( x)k ixi

i 0

n

(x x)k 0

得证。

5设f(x) C a,b 且f(a) f(b) 0,求证：

2

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

解：令x0 a,x1 b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x) f(x0)

= f(a)

x x1x x0

f(x1)

x0 x1x x0x bx a

f(b) a bx a

又 f(a) f(b) 0 L1(x) 0

插值余项为R(x) f(x) L1(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

f(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

又 (x x0)(x x1)

2

1 (x x0) (x1 x) 2

12 (x1 x0)41

(b a)24

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

x

6．在 4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使

截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi 1,xi和xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为

6

1

f ( )(x xi 1)(x xi)(x xi 1) 3!1

R2(x) (x xi 1)(x xi)(x xi 1)maxf (x)

4 x 46R2(x)

设步长为h，即xi 1 xi h,xi 1 xi

h

1343

R2(x) e4 h.

6若截断误差不超过10，则

6

R2(x) 10 643

h 10 6 h 0.0065.8．如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分。 kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m 1f(x) 0（l为正整数）解：函数f(x)的Taylor展式为

f(x h) f(x) f (x)h

其中 (x,x h)

11(m)1f (x)h2 f(x)hm f(m 1)( )hm 1 2m!(m 1)!

又 f(x)是次数为m的多项式

f(m 1)( ) 0

f(x) f(x h) f(x)

f (x)h

11(m)

f (x)h2 f(x)hm 2m!

f(x)为m 1阶多项式

2f(x) ( f(x)) 2f(x)为m 2阶多项式

依此过程递推，得 kf(x)是m k次多项式

mf(x)是常数

当l为正整数时， m 1f(x) 0

12．若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn， 证明：

j 1

n

xk 0,0 k n 2;j

1

f (xj) n0,k n 1

证明： f(x)有个不同实根x1,x2, ,xn 且f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn

f(x) an(x x1)(x x2) (x xn)

令 n(x) (x x1)(x x2) (x xn) 则

j 1

n

knxkxjj

(xj)f (xj)j 1an n

(x) (x x2)(x x3) (x xn) (x x1)(x x3) (x xn) 而 n

(x x1)(x x2) (x xn 1)

(xj) (xj x1)(xj x2) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) n

令g(x) xk,

xkj

g x1,x2, ,xn (x)j 1nj

n

xkj

则g x1,x2 …… 此处隐藏：2963字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……