DA8_7方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度一、方向导数 二、梯度 三、物理意义

第八章

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一、方向导数定义: 定义 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为 α , β , γ ) 存在下列极限 方向角为ρ →0

l

ρ

P′

lim

f

P(x, y, z)

f (x + x, y + y, z + z) f (x, y, z)记作 f = lim = l ρ →0 ρ

ρ

则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 的方向导数. l机动 目录 上页 下页 返回 结束

方向导数几何意义 z l = limP

z ρ →0 ρ

zM

z = f (x,y)

= limρ →0

f ( P ′) f ( P ) ρf ( x 0 + x , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 ) z l

ρ

Q z

N

= lim

ρ →0

ρ

是曲面在 方向导数 P 处沿方向 点P处沿方向 的变化率， 处沿方向l 的变化率， 即半切线 MN 的斜率.

0x0

y0

P

y

x y

ρP´

x

l

定理: 定理 若 数 f (x, y, z) 在 P(x, y, z) 处 微 , 函 点 可 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l = cosα + cos β + cosγ z l x y

ρ

P′

证明: 证明 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得 f f f f = x+ y+ z + o (ρ ) x y z

P(x, y, z)

=ρ (故

) + o (ρ )

f f f f f = lim = cosα + cos β + cosγ l ρ →0 ρ x y z机动 目录 上页 下页 返回 结束

对于二元函数 f (x, y), 在 P(x, y) 处 方 l (方 点 沿 向 向角 为α, β ) 的方向导数为 f f (x + x, y + y) f (x, y) = lim ρ l ρ →0

yl

l

= f x (x, y) cosα + f y (x, y) cos β

P

o

x

特别: 特别:

f f , = 当 l 与 x 轴同向(α = 0, β = ) 时 有 2 l x f f π 当 l 与 x 轴反向 (α = π , β = )时 有 = , l x 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

π

例1. 求函数 3) 的方向导数 .

在点 P(1, 1, 1) 沿向量

解: 向量 l 的方向余弦为

u u ∴ l

2 = 2xyz 14 P

3 + x y 14 2

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例2. 求函数 增大方向的方向导数. 朝 x 增大方向的方向导数

在点P(2, 3)沿曲线 在点 沿曲线

解:将已知曲线用参数方程表示为 将已知曲线用参数方程表示为 x = x y = x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x=2 = (1, 4) 1 4 ∴ cosα = , cos β = 17 17

y

P

o

2x 1

60 = 17机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:

在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿

n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 u 6x 6 = = 而 2 2 P x P z 6x + 8y 14同理得

∴

u n

1 11 = (6× 2 + 8×3 14×1 ) = 14 7 P机动 目录 上页 下页 返回 结束

f f f f

= cosα + cos β + cosγ 方向导数公式 l x y z f, f, f 令向量 G = x y z l 0 = (cosα , cos β , cos γ )

二、梯度

当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： f max ( )= G l方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值机动 目录 上页 下页 返回 结束

0

1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即

f , f , f = x y z 同样可定义二元函数 在点 P(x, y) 处的梯度

说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义机动 目录 上页 下页 返回 结束

z = f (x, y) 对 数 z = f (x, y),曲 函 线 在 xoy 面 的 上 投 z =C * 影L : f (x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .上点P 设 f x , f y 不 时 零 , 则L*上点 处的法向量为 同 为 y f = c3 ( f x , f y ) P = grad f P f = c2 同样, 对应函数 同样 有等值面(等量面 等量面) 有等值面 等量面

f = c1

P

o x 当各偏导数不同时为零时, 当各偏导数不同时为零时 其上 (设c1 < c2 < c3) 点P处的法向量为 grad f P . 处的法向量为 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线 或等值线) 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 ,指向函数增大的方向. 指向函数增大的方向机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 梯度的基本运算公式

(2) grad(Cu) = C grad u (4) grad( u v ) = u grad v + v grad u

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例4. 处矢径 r 的模 , 试证 证:

x = f ′(r) = f ′(r) 2 2 2 r x + y +z

x

f (r) y = f ′(r) , f (r) = f ′(r) z y r z r f (r) r f (r) r f (r) r ∴ grad f (r) = j+ k z i+ P y z x r r r 1 r = f ′(r) (x i + y j + z k ) o r y 1r r x = f ′(r) r = f ′(r) r 0 r机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角

为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为

α, β )的方向导数为 f f f = cosα + cos β y l x机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 梯度 三元函数

在点

处的梯度为

f , f , f grad f = x y z 二元函数 3. 关系 可微 方向导数存在 偏导数存在 在点 处的梯度为

grad f = ( f x (x, y) , f y (x, y))

f = grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影 上的投影. l机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; 在该点切线方向的方向导数 (2) 求函

数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 中切线方向 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 θ .

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解答提示: 解答提示1. (1) 曲线 在点

M (1,1,1) 处切线的方向向量

l函数沿 l 的方向导数 f = [ f x cosα + f y cos β + f z cosγ ] (1,1,1) l M

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(2) grad f

M

= (2 , 1, 0)

cosθ =

f l M l = grad f M l

6 ∴ θ = arccos 130

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备用题 1. 函数处的梯度 解:

在点

2 (1, 2, 2) 9

则 注意 x , y , z 具有轮换对称性

2 = (1, 2, 2) 9机动 目录 上页 下页 返回 结束