平面向量基本定理及其坐标表示教案

考情播报

1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.

2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.

1.平面向量基本定理

(1)条件:e1,e2是同一平面内的两个不共线向量.

结论:对于这一平面内任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

(2)关于平面向量基本定理的几点说明:

①e1、e2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底.

②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合

③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ

2.平面向量的正交分解与坐标表示

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平面内的

一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

3.平面向量的坐标运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2);

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1);

(3)若a=(x,y),则λa=(λx,λy); 2 是被a、e1、e2唯一确定的数量.

x1 x2，(4)若a=(x,y),b=(x,y),则a=b y y；2 11122

(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2-x2y1=0.

质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?

提示:一定相同.可以不同.

例如A(3,5),B(6,8), AB=(3,3);C(-5,3),D(-2,6),CD =(3,3),

显然AB=CD,

但A、B、C、D四点坐标各不相同.

考向一。平面向量基本定理及其应用

【例1】 如图所示,在△ABC中,

H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ= .

思维导引:由于B、H、C三点共线, 可用AB、AC来表示AH, 从而求得AM与AB、AC的关系.

解析:由B、H、C三点共线, 可设BH=xHC(x>0), ∴AH-AB=x(AC-AH), x1AB, AC+1 x1 x

AH= 又由M为AH的中点知

AM=111AH=AB, AC+2（2x 1)（2x 1)

又∵AM=λAB+μAC,

111+=（2x 1)（2x 1)2

.

∴λ+μ=答案: 12

反思归纳：平面向量基本定理表明,平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算.

一个结论：

若A,B,C三点共线，则对于平面内的任意一点O，都有

( 1)

→变式训练1 如图，在△ABC中，AN＝

→→→NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋3

2→AC，则实数m的值为________． 11

→→解析 设|BP|＝y，|PN|＝x，