Ch2 数值计算的基本概念

数值计算

Ch2 数值计算的基本概念Primary Problems in Numerical Analysis

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算法设计与分析 构造算法的基本思想：近似 近似 (approximation) 分析算法的核心问题：近似对计算结果 近似对计算结果 的影响

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【例】应用公式A=4πr2计算地 球的表面积 模型： 测量仪器和前面的计算 截断误差 舍入误差

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§2.1 浮点数与舍入误差计算机使用二进制数(称为浮点数 浮点数): 浮点数

x = ±.d1d 2 L d t × 2 s其中, di =0 or 1:尾数； s: 阶码 于是

L ≤ s ≤U(上溢与下溢)

2 L 1 ≤| x |≤ 2U (1 2 t )

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§2.1 浮点数与舍入误差

Matlab:IEEE标准的双精度二进制数(用64位存储一 ： 的双精度二进制数( 位存储一 个数) 个数)(since 1985) ) 尾数符号 尾数 阶码(包括符号) 阶码(包括符号) 11

1 52 IEEE双精度二进制数 双精度二进制数： 双精度二进制数

x = ±(1 + f ) × 2e其中,尾数f是满足

0 ≤ f < 1 的二进制小数 ； 52 52f是正整数且满足0 ≤ 2 f < 252 即2

指数e满足

1022 ≤ e < 1023

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§2.1 浮点数与舍入误差

舍入误差： 舍入误差：计算机表示实数时经过“舍”或“入”,用 与之最近的浮点数代替该实数，由此引起的误差。

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实验2.1 实验2.1

数值微分与步长

【实验课题】舍入误差对计算的影响 【实验目的】 1. 理解数值计算中的两类主要误差的概念：截断误差与舍入 误差； 2.初步了解：算法的选择带来不同的截断误差，从而使得计 算结果的精度不同； 3.初步体会舍入误差对计算结果的影响--数值微分中选取 适当的步长。

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『数值微分算法的理论分析』 数值微分算法的理论分析』算法1 算法

f ( x0 + h) f ( x0 ) f ′( x0 ) ≈ , (h is small) h算法2 算法

f ( x0 + h) f ( x0 h) , (h is small) f ′( x0 ) ≈ 2h

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数值微分的截断误差【Recall】Taylor公式 】 公式

1 f ( x0 + h) = f ( x0 ) + hf ′( x0 ) + f ′′( x0 )h 2 + O(h 3 ) 2!算法1 算法 截断误差

f ( x0 + h) f ( x0 ) f ′( x0 ) ≈ , (h is small) h h T1 = f ′′( x0 ) + O(h 2 ) = O(h) 2

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数值微分的截断误差【Recall】Taylor公式 】 公式

1 f ( x0 + h) = f ( x0 ) + hf ′( x0 ) + f ′′( x0 )h 2 + O(h 3 ) 2!算法2 算法

f ( x0 + h) f ( x0 h) f ′( x0 ) ≈ , (h is small) 2hh 2 ( 3) T2 = f ( x0 ) + O(h 3 ) = O(h 2 ) 3!

截断误差

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【实验过程】 实验过程】1.设函数 设函数 用算法1 用算法 f ′( x0 ) ≈

f ( x) = exp( x) 对h=10-1, 10-2,…,10-10f ( x0 + h) f ( x0 ) , (h is small) h

计算f’(0), 计算

并给出截断误差，观察截断误差随步长变化而变化的规律。 并给出截断误差，观察截断误差随步长变化而变化的规律。 2.对上述函数 计算 对上述函数f,计算 并给出截断误差， 对上述函数 计算f’(1), 并给出

截断误差，观察截断误 差随步长变化而变化的规律。 差随步长变化而变化的规律。 3.对函数 对函数f(x)=cosx (或其它自选函数 重复上述两步。 或其它自选函数), 对函数 或其它自选函数 重复上述两步。 4.用算法 重复上述各步。 用算法2重复上述各步 用算法 重复上述各步。

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【实验结果及讨论】 实验结果及讨论】绘出步长-误差图形，得出关于数值微分算法 和算 绘出步长-误差图形，得出关于数值微分算法1和算 的最佳步长的结论。 法2的最佳步长的结论。 的最佳步长的结论

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§2.2 计算机算术的若干问题浮点数的分布(P.23): 浮点数 在接近下限m的区域内比较稠密， 在接近上限M的区域内比较稀疏。

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2.2.1 数值计算的绝对误差与相对误差是某个实数的精确值， 是 的一个计算值 的一个计算值( 设x是某个实数的精确值， x*是x的一个计算值(即近 是某个实数的精确值 似值), ),则计算的 似值),则计算的 绝对误差： 绝对误差： e(x) := x*-x =

则称M为绝对误差界. 若|e(x)| ≤M, 则称 为绝对误差界 相对误差： 相对误差： er(x) := (x*-x)/x =

则称M为相对误差界. 若|er(x)| ≤ M, 则称 为相对误差界

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【具有有限精度的浮点数在数值计算中的问题】(舍 具有有限精度的浮点数在数值计算中的问题】 舍入误差的影响) 入误差的影响

例2.3 用Matlab进行简单算术计算 进行简单算术计算 计算结果: 计算结果 !! format long x=4/3-1 y=3*x z=1-y z= 2.220446049250313e-016 y= 1.00000000000000 x= 0.33333333333333

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双精度二进制数系的标志数】 【IEEE双精度二进制数系的标志数】 双精度二进制数系的标志数Number eps realmin Binary 2^(-52) 2^(-1022) Decimal 2.2204e-016 2.2251e-308

realmax (2-eps)^1023 1.7977e+308 _________________________________________________ 若计算值 x >realmax 则发生上溢； 则发生上溢； 上溢 则发生下溢 下溢； 若计算值 x< realmin 则发生下溢；

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画多项式的图形 例2.4 用Matlab画多项式的图形 x=0.988:.0001:1.012; y=x.^7-7*x.^6+21*x.^5-35*x.^4+35*x.^3-21*x.^2+7*x-1; plot(x,y) hold on z=(x-1).^7; plot(x,z,'r')5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0.985 x 10-14

0.99

0.995

1

1.005

1.01

1.015

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实验2.2 浮点数加法 实验 --结合律失效 --结合律失效【实验课题】浮点数算术运算的特殊性 【实验目的】 理解浮点数算术运算与实数精确运算的不同。

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%%float number arithmetic x=randn(1,1e+4); y=randn(1,1e+4); z=ones(1,1e+4); z=z*1e+10; w=y.*z; format long s1=0; for n=1:1e+4 s1=s1+x(n); end s1

s2=0; for n=1:1e+4 s2=s2+w(n); end s2 s=s1+s2 t=0; for n=1:1e+4 t=t+x(n)+w(n); end t