高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案

习题4 1

1. 求下列不定积分:

1 (1)∫2dx; x

111 解 ∫2dx=∫x 2dx=x 2+1+C= +C. 2+1xx

(2)∫xxdx;

解 ∫xxdx=∫

1

x3x2dx=13+123+12x2+C=5x2x+C. (3)∫

解 dx; ∫1

xdx=∫x 1

2dx= 11x2+C=2x+C. 1 +121

(4)∫x2xdx;

解 ∫x2xdx=∫7

x3dx=1

7+137+13x+C=33xx+C. 10

(5)∫

解 1x2x1dx; dx=∫x ∫x2x52dx= 1311x2+C= +C. 52xx +125

(6)∫xndx;

解 ∫xdx=∫nnxmdx=1

n+1mn+1xm+C=mxn+mm+nm+C.

(7)∫5x3dx;

5 解 ∫5x3dx=5∫x3dx=x4+C. 4

(8)∫(x2 3x+2)dx;

13 解 ∫(x2 3x+2)dx=∫x2dx 3∫xdx+2∫dx=x3 x2+2x+C. 32

(9)∫dh

2gh

dh

gh(g是常数); 解 ∫=1

2g∫h 1

2dh=1

g1 2h2+C=2h+C. g

(10)∫(x 2)2dx;

1 解 ∫(x 2)2dx=∫(x2 4x+4)dx=∫x2dx 4∫xdx+4∫dx=x3 2x2+4x+C. 3

(11)∫(x2+1)2dx;

12 解 ∫(x2+1)2dx=∫(x4+2x2+1)dx=∫x4dx+2∫x2dx+∫dx=x5+x3+x+C. 53

(12)∫(x+1)(x3 1)dx;

解 ∫(x+1)(x3 1)dx=∫(x2 x+x3 1)dx=∫x2dx ∫1

x2dx+∫3

x2dx ∫dx

122 =x3 x2+x2 x+C. 335

(13)∫35(1 x)2

xdx;

1

21 2x23+x21)dx=2x235 解 ∫(1 x)2

xdx=∫1 2x+x2

x=∫(x 42 x2+x2+C. 35

3x4+3x2+1 (14)∫dx; 2x+1

3x4+3x2+1123 解 ∫dx=(3x+dx=x+arctanx+C. ∫x2+1x2+1

x2

(15)∫dx; 1+x2

x2x2+1 11 解 ∫dx=dx=(1 dx=x arctanx+C. ∫∫2221+x1+x1+x

3 (16)∫(2ex+dx; x

31 解 ∫(2ex+dx=2∫exdx+3∫dx=2ex+3ln|x|+C. xx

(17)∫(3

1+x

32 2 x2dx; 解 ∫(1+x2

x 2 x2dx=3∫11+x2dx 2∫1 x2dx=3arctanx 2arcsinx+C. (18)∫e(1 e x

xdx;

1

21 2x2 解 ∫e(1 xe x

xdx=∫(e xx )dx=ex+C.

(19)∫3xexdx;

(3e)x3xex

+C=+C. 解 ∫3edx=∫(3e)dx=ln(3e)ln3+1xxx

2 3x 5 2x

(20)∫dx; 3x

2(x

2 3 5 22x52x3+C=2x 解 ∫[25(]25dx= dx=x (+C. ∫23ln2 ln333xln3xx

(21)∫secx(secx tanx)dx;

解 ∫secx(secx tanx)dx=∫(sec2x secxtanx)dx=tanx secx+C.

x (22)∫cos2dx; 2

解 ∫cos2

(23)∫

解

x1+cosx11dx=∫dx=∫(1+cosx)dx=(x+sinx)+C. 22221dx; 1+cos2x111dx=dx=tanx+C. ∫1+cos2x∫2cos2x2

(24)∫cos2xdx; cosx sinx

cos2xcos2x sin2x 解 ∫=∫(cosx+sinx)dx=sinx cosx+C. dx=∫cosx sinxcosx sinx

cos2xdx; (25)∫22cosxsinx

cos2xcos2x sin2x11 解 ∫dx=dx=( )dx= cotx tanx+C. ∫∫222222cosxsinxcosxsinxsinxcosx

1 (26)∫(1 2)xxdx; x

1 44 44 解 ∫ 1 2 xxdx=∫(x x)dx=x+4x4+C. 7 x 3571

2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.

解 设该曲线的方程为y=f(x), 则由题意得

1 y′=f′(x)=, x

1所以 y=∫dx=ln|x|+C. x

又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有=3 2=1

3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C,

C=3 2=1.

于是所求曲线的方程为

y=ln|x|+1.

3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是3t2(m/s), 问

(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

(2)物体走完360m需要多少时间？

解 设位移函数为s=s(t), 则s′=v=3 t2, s=∫3t2dt=t3+C.

因为当t=0时, s=0, 所以C=0. 因此位移函数为s=t 3.

(1)在3秒后物体离开出发点的距离是s=s(3)=33=27.

(2)由t 3=360, 得物体走完360m所需的时间t=≈7.11s.

ex12xxx的原函数. 4. 证明函数e, eshx和echx都是chx shx2

exexex

证明 =x x= x=e2x. x xchx shxe+ee ee 22

因为

1 (e2x)′=e2x, 2

ex12x的原函数. 所以e是chx shx2

因为

ex e xex+e x

(eshx)′=eshx+echx=e(sh x+ch x)=e(+)=e2x, 22xxxxx

ex

的原函数. 所以eshx是chx shx

因为 x

ex+e xex e x

(echx)′=echx+eshx=e(ch x+sh x)=e(+=e2x, 22xxxxx

ex

的原函数. 所以echx是chx shx

x

习题4 2

1 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: dx=d(4x+7): 4

(1) dx= d(ax);

1 解dx= d(ax). a

(2) dx= d(7x 3);

1 解dx= d(7x 3). 7

(3) xdx= d(x2);

解xdx= 1 d(x2). 2

(4) xdx= d(5x2);

1 d(5x2). 解xdx= 10

(5)xdx= d(1 x2);

1 解 xdx= d(1 x2). 2

(6)x3dx= d(3x4 2);

1 d(3x4 2). 解x3dx= 12

(7)e 2x dx= d(e2x);

解e 2x dx= 1 d(e2x). 2

(8)e2dx= d(1+e

x xx 2); x 2 解 e2dx= 2 d(1+e).

33 (9)sinxdx= d(cosx); 22

323 解 sinxdx= d(cosx). 232

(10)

解

(11)dx= d(5ln|x|); xdx1= d(5ln|x|). x5dx= d(3 5ln|x|); x

解

(12)

解 dx1= d(3 5ln|x|). x5dx1+9x2dx

dx

x2= d(arctan3x); 1 d(arctan3x). =231+9x= d(1 arctanx); (13)

解 dx

x2= ( 1) d(1 arctanx).

(14)xdx

x2

xdx

x2= d( x2). 解 = ( 1) d( x2).

2. 求下列不定积分(其中a, b, ω, 均为常数):

(1)∫e5tdt;

解 ∫e5tdt=15x1ed5x=e5x+C. ∫55

(2)∫(3 2x)3dx;

解 ∫(3 2x)3dx=

(3)∫

解 1dx; 1 2x113(3 2x)d(3 2x)= (3 2x)4+C. ∫281111dx= d(1 2x)= ln|1 2x|+C. ∫1 2x2∫1 2x2

dx; (4)∫3 3x

解 ∫ 1131= ∫(2 3x)3d(2 3x)= (2 3x)3+C= (2 3x)3+C. 33222 3xdx122

(5)∫x

(sinax eb)dx;

解 ∫x

(sinax eb1x1)dx=∫sinaxd(ax) b∫ebd()= cosax beb+C. abaxx

(6)∫sindt;

解 ∫sint

tdt=2∫sind= 2cos+C.

(7)∫tan10x sec2xdx;

解 ∫tan10x sec2xdx=∫tan10xdtanx=

(8)∫

解 dx; xlnxlnlnx1tan11x+C. 11dx11=dlnx=∫xlnxlnlnx∫lnxlnlnx∫lnlnxdlnlnx=ln|lnlnx|+C.

x

+x2 (9)∫tan+x2 dx;

解 ∫tan+x 2x

+x2dx=∫tan+xd+x=∫22sin+x2cos+x2+x2

= ∫

(10)∫1cos+x2cos+x2= ln|cos+x2|+C. dx; sinxcosx

dxsec2x1 解 ∫=∫dx=∫dtanx=ln|tanx|+C. sinxcosxtanxtanx

1 (11)∫x xdx; e+e

解

(12)∫xe xdx;

解 ∫xe xdx= 2∫ex+e x21ex1dx=∫2xdx=∫x=arctanex+C. 2xe+11+e1 x21 x22ed( x)= e+C. 2∫2

(13)∫x cos(x2)dx;

解 ∫x cos(x2)dx=1∫cos(x2)d(x2)=1sin(x2)+C. 22

(14)∫x

2 3x

x2dx; 解 ∫ 111dx= ∫(2 3x2)2d(2 3x2)= (2 3x2)2+C= …… 此处隐藏：4235字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……