数学奥赛中数论问题的解题方法

奥数竞赛!

数学奥赛中数论问题的解题方法

１引言

在历年的国内外数学奥林匹克中。几乎每年都离不开数论问题。分析历年奥林匹克数学竞赛试题易知，奥林匹克数学中的数论问题主要有：（１）整除性问题；（２）数性的判断；（３）余数问题；问题；（６）与高斯函数【ｘ１有关的问题。本文对奥林匹克数学中的数论问题的常用解题方法做进一步的分析总结。

２常用的部分解题方法２．１奇偶分析法奇偶数的性质：

（１）两个奇数的和与差为偶数，而积为奇数：

（２）两个偶数的和、差、积为偶数；奇数与偶数的和、差为奇数，而积为偶数；

（３）如果ｍ为整数。ａ为奇数。则ｍ＋口的奇偶性与ｍ相反；如果ｍ为整数，ｂ为偶数，则ｍ±６的奇偶性与相同。

例设Ｎ是正整数，如果存在大于ｌ的正整数ｋ，使得Ｎ～ｋ（ｋ．－１）

ｋ

Ｚ

的正整数倍，则称Ｎ为一个”千禧数”。试确定ｌ，２，３，…，２０００中。千禧数”的个数，并说明理由。

解设Ⅳ是“千禧数”，则存在正

整数ｍ，使得Ｎ一丛生尘：砌，即

Ｚ

２Ⅳ＝ｋ（２ｍ＋七一１）：

显然七与

２ｍ＋七一１的奇偶性不同，且后＞ｌ，２ｍ＋ｋ—ｌ＞ｌ，所以２Ｎ有大于ｌ的奇因子，从而Ⅳ有大于ｌ的奇因子。

反过来，若Ⅳ有大于ｌ的奇因子，则可设２Ｎ＝ＡＢ，其中Ａ，Ｂ的奇偶性不同，且Ａ＜Ｂ，则一＞ｌ且

＾，一—Ａ（，４—－１）：竺一—Ａ（Ａ—－１）：Ａ里二』±！．

２

２

２

２

’

其中』＝垄ｉ为正整数。

Ｚ

综上，只有当Ⅳ有大于ｌ的奇因子时，Ⅳ是“干禧数”而在ｌ，２，３，…评析：奇偶分析法是从未知数，系数的奇偶性入手讨论未知数的可能取值情况。以达到缩小考察范围，得出相应

万方数据

５１０８００广东省高级技工学校王坤

的结果。在解决与正整数有关的问题（如反证法的一般步骤：

数性有关的问题）能灵活运用奇偶分析（１）反证：假设命题的结论不成立：的方法，往往有“四两拔千斤”的效果。

（２）归谬：从该假设出发，经过推论论证，２．２分类讨论

得出与已知条件或公理或定理矛盾的结依据数学研究对象的本质属性的相论；｛３）结论：由矛盾判定假定不正确，

同点和差异点，将数学对象进行分类，从而肯定命题的结论正确。即”反证——然后对划分的每类分别进行研究和求解推理——否定或肯定”三步。

的方法，叫分类讨论的方法。

例设正整数ｄ异于２，５，１３，求证：分类讨论必须遵循的原则：

在集合｛２，５，１３，ｄ｝中可以找到两个（１）分类讨论的对象必须是确定不同的元素ａ，ｂ，使ａｂ－Ｉ不是完全平的：（２）每次分类的标准必须是同一的；

方数。（第２７届ＩＭＯ试题）

（３）分类必须不重复，不遗漏：（４）证明‘．‘２

ｘ

５－１＝３２，２×１３－１＝５２，

连续多次分类，按层次逐级进行，不得５×１３．１－－－８２

越级。

．‘．只须证２ｄ－１，５ｄ－Ｉ，１３ｄ－ｌ不全例解方程ｘ３一Ｉｘ］＝３

是完全平方数

解将方程变形为Ｂ】＝工３—３，假设２ｄ－Ｉ，５ｄ－Ｉ，１３ｄ－１均是完全平由不等式ｘ—ｌ≤ｂＪ≤工，可得

方数，不妨设

２ｄ—ｌ＝工２……（Ｉ）

ｚ一１≤ｚ３—３≤ｘ

由此又可以得到

５ｄ一１＝１，２……（２）

２＜∥一ｘ≤３

（１）

１３ｄ－１＝ｚ２……ｆ３）解出可得

因

为当

ｘ＜－１

时，

２ｄ＝ｑ２一Ｐ２＝（ｇ－ｔ－ｐＸｑ—ｐ）工’一工＝ｘ（ｘ２一１１＜０

所以此时方程无解（因方程的解必 ． ２ｄ是偶数，即ｇ‘一∥是偶数

须满足（１））

．’．ｐ，ｇ同奇或同偶，从而ｑ＋Ｐ，ｇ—Ｐ是偶数，于是２ｄ是４的倍数，

又

因

为当

Ｍ≤ｌ

时，

则

ｆｘ３－ｘ］＝ＩｘＩ ｌｘ２一－Ｉ≤Ｉｘ２－１［＜２

ｄ是偶数，这与推出ｄ是奇数相矛

所以此时方程也无解。另外，当

盾！

ｘ＞２时，ｘ’一ｘ＝ｘ（ｘ。一１）＞６

故原命题正确。

所以方程仍无解。

评析：反证法是数学证明中的一种重要方法，在解决数论问题中反证法也因此，方程的解必满足ｌ＜ｘ＜２，

于是必有翻＝ｌ，将阴＝ｌ代入原方程立

具有其普遍应用性，特别是在判断数性问题（如解平方数问题等）中应用更多。即得出原方程的解为ｘ＝可４。

证明的关键是构造矛盾，通常借用奇、评析：在数论问题中往往出现多个偶数等方式来构造矛盾。

正整数或其他更特殊的情况，此时必须２．４无穷递降法

根据实际情况对这些正整数或其相关式无穷递降法是一种与数学归纳法相子进行分类讨论。本例中就是灵活地对对应的的数学方法，它的原理一般称为ｘ的取傻范围进行分类讨论，最终蛆结无穷递降原理，其现代表述为：若要证

出Ｊ的值。解题过程中还应注意往往有明关于自然数的命题Ｎ（ｎ）不成立，需要

时一次分类不够，还要进行第二次分类，证明：

两次分类可以相互独立，也可能第二次（１）Ｎ（ｎ）不成立：

是将第一次的一个子类再分类。

ｆ２）若Ｎ依）成立，则有ｋ’＜后，

２．３反证法

使Ｎ（ｋ）不成立。

通过证明论题的矛盾论题（即否定如（１）（２）均得证。则命题Ⅳ伪）

命题）。进而肯定命题的真实的证明方对所有的自然数均不成立。

法叫做反证法。

例证明不存在非零（下转第２页）

（４）整数的分解与分析：（５）不定方程２０００中，只有ｌ，２，２２，…，２１０不是。千

禧数”，故有“干禧数“２０００－１１＝１９８９个。

教育观察勰

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源。因此，环境教育是环境科学与教育科学相结合，是一门跨专业跨学科的教育类别，是一个综合性的教育体系，其中包括环境科学、自然科学、社会科学和人文科学。因此，环境教育内容中应促进环境经济学、环境伦理学、环境法学、环境教育学等环境社会学科的发展。在高校实行“三结合”的环境教育。将环境专业与非环境专业结合起来。组织环境专业与非环境专业师生之间的交流沟通，给非环境专业学生一次学习的机会，也给环境专业学生运用环境知识的过程，而共同促进环境教育事业的发展；将环境教育与德育教育结合起来。以德育教育促进环境教育的发展，使学生在掌握环境知识的基础上，养成自觉保护环境的道德，进而发展解决环境问题的能力，推动环境的改善；最后，将课堂与社会结合起来。鼓励学生在课余时间参加环境保护活动，真正践行环境保护与资源可持续的理念，可以检验、运用已经学过的环境知识，同时还可以增加社会阅历。

（二）强化高等学校环境教育的师资培训

环境教育的开展，必须要有高素质的环境教育师资队伍，环境教育师资队伍需要高质量的师资培训。环境教育的师资培训要培养专业教育的基本能力和环境教育两个方面的能力。在西方世界，各国大学对环境教育的师资培训非常关注。为了培养合格的环境教育者，芬兰教育部发起了“环境教育教师培训者”项目。“参加培训的教师不仅可以学习并运用新的教学方法和产生新的教学课（上接第２８页）

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