2018-2019学年高一数学苏教版选修2-2学案：1.2.2+3 简单复合函数

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1.2.2函数的和、差、积、商的导数

1.2.3简单复合函数的导数

1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点

)

[基础·初探]

教材整理1导数的四则运算法则

阅读教材P21，完成下列问题．

1．导数的四则运算法则

设两个函数f(x)，g(x)可导，则

判断正误：

(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()

(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．()

2

3 (3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.()

【解析】(1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.

(2)由y＝2sin x－cos x，

则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x.

(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，

所以f′(x)＝2x＋3.

【答案】(1)×(2)√(3)×

教材整理2复合函数的导数

阅读教材P23，完成下列问题．

1．判断正误：

(1)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．()

(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．()

【答案】(1)√(2)×

2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________. 【解析】f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，

∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.

【答案】 1

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________

疑问2：_______________________________________________

2

3 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：

_______________________________________________

[小组合作型]

(e)＋ln x (e 为

自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.

(2)求下列函数的导数：

①f (x )＝(x ＋2)(x －3)；②f (x )＝lg x －3x ； ③f (x )＝11－x ＋11＋x

；④f (x )＝sin x 1＋sin x . 【自主解答】 (1)f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e .∴f ′(e)＝－1e .

【答案】 －1e

(2)①∵f (x )＝x 2－x －6，

∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1.

②f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ln 10－3x ln 3. ③∵f (x )＝1＋x ＋1－x 1－x ＝21－x

， ∴f ′(x )＝? ??

??21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. ④∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x

， ∴f ′(x )＝1′－? ??

??11＋sin x ′

2

3 ＝－

－(1＋sin x)′

(1＋sin x)2

＝

cos x

(1＋sin x)2

.

1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．

2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公

式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

[再练一题]

1．求下列函数的导数．

(1)y＝x－2＋x2；

(2)y＝3x e x－2x＋e；

(3)y＝

ln x

x2＋1

；

(4)y＝x2－sin x

2cos

x

2.

【自主解答】(1)y′＝2x－2x－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.

(3)y′＝x2＋1－2x2·ln x

x(x2＋1)2

.

(4)∵y＝x2－sin x

2cos

x

2

＝x2－1

2sin x，

∴y′＝2x－1

2cos x.

2

3 (1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝1(2x －1)3

； (3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .

【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．

【自主解答】 (1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.

(2)函数y ＝1(2x －1)3

可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4

＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4. (3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，

∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2

. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．

∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′

＝3u 2·cos x ＋3cos v

＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x

.

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

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3

[再练一题]

2．求下列函数的导数．

(1)y ＝x 1－1－x

； (2)y ＝log 2(2x 2－1)．

【解】 (1)y ＝

x 1－

1－x ＝x (1＋

1－x )(1－

1－x )(1＋1－x ) ＝x (1＋1－x )1－(1－x )＝1＋1－x . 设y ＝1＋u ，u ＝1－x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝1

2u ·(－1)＝－1

21－x .

(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1，

则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x

＝4x (2x 2

－1)ln 2

. [探究共研型]

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3

探究

【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)

′·(3x ＋2)′

＝6u ＝6(3x ＋2)．

已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处

的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．

【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．

【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋

2x －2

(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，

所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.

因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |

4(a

－1)2＋1＝12，解得a

＝118.

关于复合函数导数的应用及其解决方法

(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．

2

3 [再练一题]

3．若将上例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范

围．

【解】 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0 …… 此处隐藏：3071字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……