2011级线性代数考试试题(A卷)_46959

西安工业大学2011级线性代数期末考试卷

注意事项： （1）所有题一律在试卷上做答，第三至第七题要有计算或证明的过程； （2）考试结束前10分钟不准交卷，由监考老师负责收卷；

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

x 31x2

1、多项式f(x)

0013002x00

的常数项是（ ）. x1

(A) 0； (B) 2； （C）3； （D）6. 2、若n阶方阵A可逆,且A*可逆,则(A*) 1 ( ). (A) A; (B) AA; (C)

AA; (D) n 1. AA

3、设 , , 线性无关， , , 线性相关，则（ ）

（A） 必可由 , , δ线性表示； （B） 必不可由 , , 线性表示； （C） 必可由 , , 线性表示； （D） 不可由 , , 线性表示. 4、设线性方程组(Ⅰ) Ax b,其导出组(Ⅱ) Ax 0,则必有( ).

（A）(Ⅰ)有无穷多解,则(Ⅱ)仅有零解； （B）(Ⅰ)仅有唯一解,则(Ⅱ)仅有零解； （C）若(Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解；（D）若(Ⅱ)仅有零解,则(Ⅰ)有唯一解. 5、设3阶方阵A的特征值分别为 1 1, 2 2, 3 3，则说法不正确的是（ ）. (A) A是满秩矩阵； (B) A3的特征值分别是1, 8, 27；

1 T

2 ； (C) 存在正交矩阵P，使PAP＝ 3

(D) A的特征值 1 1, 2 2, 3 3对应的特征向量p1,p2,p3线性无关. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

11143 5

1. 设D

2523 2101

,则4A11 3A12 5A13 A14 ___,A11 A12 A13 _____; 11

111 1112. 矩阵A 的非零特征值是 ，对应的特征向量为______________; 111

0 0

3. 设A

0 0100 010 ，则A3的秩为001

000

500 1

A 031，则A＝______________; 4. 设

021

2231 12

5. 若A ，，已知A与B相似，则x ，y B

xy 34

111 123

TA 11 1, B 1 24三、（10分）设 , 求3AB 2A 及 AB. 1 11 051

四、（15分）求向量组 1 2,1,0,3 ， 2 1, 3,2,4 ， 3 3,0,2, 1 ，

T

T

T

4 2, 2,4,6 T的秩及一个极大无关组，并将其余的向量（如果有的话）

用此极大无关组线性表出.

x1 x2 x3 a

五、（12分）设线性方程组为 ax1 x2 x3 1，问（1）a为何值时，方程组有唯一解，

x x ax 1

23 1

（2）a为何值时，方程组有无穷多解，并求出它的通解.

六、（15分）设二次型为f 2x1x2 2x1x3 2x2x3.

（1）写出f的矩阵表达式 （2）求一个正交变换x Py化上述二次型f为标准型 （3）判断该二次型f是否为正定二次型

七、(8分) 已知向量组 1, 2, 3线性无关，向量组 1, 2, 3, 4线性相关，向量组

1, 2, 3, 5的秩为4；证明：向量组 1, 2, 3, 5 4线性无关.