工程数学-线性代数第五版答案02(2)

A 1A(A E) 2A 1E A 1

1(A E) 2

又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E

所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1

(A 2E) 1 1(3E A)

4

1 16 设A为3阶矩阵 |A| 求|(2A) 1 5A*| 2

1A* 所以

解 因为A 1

|A|

|(2A) 1 5A*| |1A 1 5|A|A 1| |1A 1 5A 1|

222

| 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 1 8 2 16 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1 (A 1)* 证明 由A 1

1A* 得A* |A|A 1 所以当A可逆时 有 |A|

|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0 从而A*也可逆

因为A* |A|A 1 所以 (A*) 1 |A| 1A 又A

1(A 1)* |A|(A 1)* 所以 |A 1|

(A*) 1 |A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1 证明

(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1 E 由此得

A A A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O

所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时 有|A*| 0 (2)由于A 1

1A* 则AA* |A|E 取行列式得到 |A|

|A||A*| |A|n 若|A| 0 则|A*| |A|n 1

若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 1

033

19 设A 110 AB A 2B 求B

123

解 由AB A 2E可得(A 2E)B A 故

233 03

B (A 2E)A 1 10 11

121 12

101

20 设A 020 且AB E A2 B 求B

101

1

1

3 033

0 123

110 3

解 由AB E A2 B得 (A E)B A2 E 即 (A E)B (A E)(A E)

001

因为|A E| 010 1 0 所以(A E)可逆 从而

100

201

B A E 030

102

21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解 由A*BA 2BA 8E得

(A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 1 8[A(A* 2E)] 1 8(AA* 2A) 1 8(|A|E 2A) 1 8( 2E 2A) 1 4(E A) 1

4[diag(2 1 2)] 1

1, 1, 1)

4dia(22

10 300100 0 0 8

2diag(1 2 1)

1

0

22 已知矩阵A的伴随阵A*

1 0

且ABA 1 BA 1 3E 求B 解 由|A*| |A|3 8 得|A| 2 由ABA 1 BA 1 3E得 AB B 3A

B 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A

3(E 1A*) 1 6(2E A*) 1

2

0 6000 0600 0

0 6060

030 1 6

1 4 1 23 设P 1AP 其中P 11 0

1

0 6

1 0

01030010

1

0 求A11 2

解 由P 1AP 得A P P 1 所以A11 A=P 11P 1. |P| 3

1P* 1

4 P 1 1 14

1 1 1 3

1而 11 0

故

0 10

0211 2

11

14

27312732 1 4 10 1133A 0211 11 683 684

11

33

1 111

24 设AP P 其中P 10 2 1

1 11 5

求 (A) A8(5E 6A A2) 解 ( ) 8(5E 6 2)

diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1

1P ( )P*

|P|

111 100 2 2 2

2 10 2 000 303

1 11 000 12 1 111

4 111

111

25 设矩阵A、B及A B都可逆 证明A 1 B 1也可逆 并求其逆阵 证明 因为

A 1(A B)B 1 B 1 A 1 A 1 B 1

而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1 B 1可逆

(A 1 B 1) 1 [A 1(A B)B 1] 1 B(A B) 1A

1 0

26 计算

0 0

21001020

0 11 01 0 03 031 12 1 0 23 00 3

2 A 22 01

AE EB1 A1

则 1 OB OOA 2 2 解 设A 1

而

1

0

1 B 31 B 23

1 2 1 2 0 3 3 A1B1 B2

A2B2

1 AB B 112

02A2B2 0

2 31 23 52 2 1 0 3 2 4 1

1 23 43 0 3 0 9 3

252

12 4 0 43 00 9

1

A1E EB1 A1A1B1 B2 0 所以 OB OAB 0OA 2 2 22 0

1 0

即

0 0

210010200 11 01 0 3 0

031 112 1 00 23 0

00 3 0

252 12 4 0 43 00 9

27 取A B C D

1

00 验证AB |A||B| 1 CD|C||D 0 100

2010 4 02011

1AB 0 解

CD 1

而 故

010 11010021 010

|A||B| 0|C||DAB |A||B| CD|C||D

34O 4 3

28 设A 求|A8|及A4 20

O22

解 令A1

则

34 A 2

2 24 3 A1O A O A 2

8

0

2

O A18O 8 A1

故 A OA8 OA 2 2

888816

|A8| |A||A| |A||A| 101212

540O

4 O 0544 A1A 4 4OA20 2 O64 22

1

29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求

OA (1)

BO

C1C2 则 OA 解 设 BO C3C4

1

OA C1C2 AC3AC4 EnO BO CC BCBC OE 34 1s 2

AC3 En C3 A 1 AC4 O C4 O

由此得

BC1 O C1 O BC E C B 1 2s 2

1

OAOB 1所以 BOAO

1

AO (2) CB

1

D1D2 则 AO 解 设 CB D3D4

1

AD2 EnO AO D1D2 AD1 CB DD CD BDCD BD OE

34 1324 s

D1 A 1 AD1 En

D O AD2 O

由此得 2

CD1 BD3 OD3 B 1CA 1 CD BD E D B 1 24s 4

1AOA 1 1O所以 1 CB BCAB

1

30 求下列矩阵的逆阵

5 2 (1)

0 0

21000085

0 0 3 2

解 设A

5 22 B 83 则

52 1 2 1 2 B 1 8 25 51

1

1

5 A 1

23 2 3

58 2

1

5

2

于是

0 0 1 1 (2)

2 1

0212

21000031

0085

0 1 200 1

0 A A 1 2500

002 3 3 B B 1 00 58 2

0

0 0 4

解 设A

1

10030 B 3

12

1

0 C 2

14 1 则

2

1

1

20210

0 A0 CO A 1O B B …… 此处隐藏：1426字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……