1.3.1我的柱体、锥体、台体、球体体积

数学

1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积

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祖暅原理 夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截， 如果截面(阴影部分)的面积 S1=S2,那么这两个几何体的体积 夹在两个平行平面间的两个几何体， 夹在两个平行平面间的两个几何体， 一定相等。

被平行于这两个平面的任何平面所截， 被平行于这两个平面的任何平面所截， 如果截得的两个截面的面积都相等， 如果截得的两个截面的面积都相等，那 么这两个几何体的体积相等。 么这两个几何体的体积相等。祖暅β S1 S2

α

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我国古代著名数学家祖冲之在计 算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国 家的数学家早一千多年。在欧洲知道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri .B,1598年~1647年)提 出上述结论

(429年~500年)

数学

取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度 取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状， 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。

例如： 例如：

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柱体的体积公式设有底面积都等于S, 高都等于h的任意一个棱 柱、一个圆柱和一个长方 体，使它们的下底面在同 一个平面α内(右图) α

s

s

s

根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等 于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式 V柱体=S h 其中S是柱体的底面积，h是柱体的高

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锥体的体积公式

为了求锥体的体积 公式,我们先研究等 底等高的任意两个 锥体体积之间的关 系!

设有底面积都等于S,高都等于h的两个锥体，使它们的底 面在同一个平面α内。 根据祖暅原理，可推导出定理。

定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等。 定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等。S1=S2S1 S2

α

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将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥， 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？ 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？ 关系？3 2 1 1 3 2

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经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 1 的 ，即棱锥(圆锥)的体积： 即棱锥(圆锥)的体积：3

1 ( 为底面面积， 为高) V = Sh 其中S为底面面积，h为高) 3

由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似， 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似， 都是底面面积乘高 底面面积乘高； 都是底面面积乘高；棱

锥与圆锥的体积公式 类似，都是等于底面面积乘高的 类似，都是等于底面面积乘高的 . 13

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x ∵ = x+h∴x =

s' s

S

'

xh

h s' s s'

S

1 1 1 ' 1 1 ' V台 = S ( h + x ) S x = Sh + Sx S x 3 3 3 3 31 1 = Sh + ( S S ' ) 3 31 1 = Sh + ( s + 3 3 s )h s' '

h s' s s'

1 = h(s + 3

ss ' + s ' )

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关于体积有如下几个原理： 关于体积有如下几个原理： 相同的几何体的体积相等； (1)相同的几何体的体积相等； (2)一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和； 体积之和； (3)等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； 体积相等； 体积相等的两个几何体叫做等积体. (4)体积相等的两个几何体叫做等积体.

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台体体积根据台体的特征，如何求台体的体积？ 根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥( 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 截成的， 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台) 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略) 体积公式(过程略).A′

PD′

S′

C′

B′

hAS

D

V = VP ABCD VP A′B′C ′D′1 = ( S ′ + S ′S + S )h 3

CB

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台体体积

棱台(圆台) 棱台(圆台)的体积公式

1 V = (S′ + S′S + S)h 3 分别为上、下底面面积， 为圆台 其中 S , S ′ 分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)的高. 棱台)的高.

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台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？

上底扩大

上底缩小

V = Sh

S′ = S

S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 h为锥体高 为锥体高

S′ = 0 1 1 V = Sh V = (S′ + S′S + S)h 3 3 S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 S分别为上、下底面 分别为上、 分别为上 h为柱体高 为柱体高 面积， 面积，h 为台体高

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理论迁移

求各棱长都为a的四面体的表面积. 例1 求各棱长都为a的四面体的表面积.

S = 3a

2

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一个圆台形花盆盆口直径为20cm 20cm, 例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm, 盆底直径为15cm 15cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为 1.5cm,盆壁长15cm 15cm, 1.5cm,盆壁长15cm,为了美化花盆的外 需要涂油漆. 已知每平方米用100 100毫 观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫 升油漆， 100个这样的花盆需要多少油 升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油 精确到1毫升)? 漆(精确到1毫升)?20

S ≈1000cm = 0.1m215

2

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典型例题有一堆规格相同的铁制( 例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm 3 )六角螺帽共重 六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 ， 边长为12mm,内孔直径为 形，边长为 ，内孔直径为10mm,高为 ，高为10mm, , 问这堆螺帽大约

有多少个( 问这堆螺帽大约有多少个( π 取3.14)? )? 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差， 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V= ×12 × 6 ×10 3.14 × ( ) ×10 4 2 ≈ 2956(mm3 )= 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ×1000 ÷ (7.8 × 2.956) ≈ 252 个) ( 这堆螺帽大约有252 252个 答：这堆螺帽大约有252个.

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例： 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所 示:2cm

正视图

这个几何体是 正四棱锥 ， _______, 侧视图2 它的表面积是

4 + 4 3 cm它的体积是

_________, ,2 cm

2cm

3 4 _________. 3

2 cm

俯视图

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变式1:一几何体的三视图及相关尺寸如图所 几何体的三视图及相关尺寸如图所 示:2cm1 cm

这个几何体是 侧视图

正视图

由正四棱锥和长 ____ ___, , 方体组合而成

它的表面积是 22 cm

_________, ,

12 + 4 3 cm它的体积是

2cm

4+

俯视图

3 4 3 _________.

2 cm

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圆柱的侧面展开图如下左图所示， 1.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的体积。 圆柱的侧面展开图如下左图所示 求此圆柱的体积。直 观 图 1

侧面展开图

直观图2 直观图