8-4高等数学同济大学第六版本

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习题8 4

ex 2y(cost 6t2)

esint 2t(cost 6t2)

3

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8 求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数) (1) u f(x2 y2 exy)

解 将两个中间变量按顺序编为1 2号

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(3) u f(x xy xyz)

xy xF(u) xy z xy

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解 令u x

2 y2 则z f(u)

数)

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(1) z f(xy y)

解 令u xy v y 则z f(u v)

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(2) z = f ( x, x ) ; y 解 令 u=x,v= x , y

则 z=f(u, v).

z = f du + f v = f + 1 f , x u dx v x u y v z = f dv = x f . y v dy y 2 v

因为 f(u, v)是 u 和 v 的函数, 所以 从而

f f 和 也是 u 和 v 的函数, u v

f f 和 是以 u 和 v 为中间变量的 x 和 y 的函数. u v 2 z = ( z ) = ( f + 1 f ) = ( f ) + 1 ( f ) x2 x x x u y v x u y x v=( 2 f

du 2 f v 1 2 f du 2 f v + )+ ( + ) u 2 dx u v x y v u dx v 2 x

2 f 2 2 f 1 2 f = 2+ + , u y u v y 2 v 2 2 z = ( z ) = ( f + 1 f ) x y y x y u y v f f f = ( ) + d ( 1 ) + 1 ( ) y u dy y v y y v = f v 1 f 1 2 f v + u v y y 2 v y v 2 y

2 f 1 f x 2 f = x2 y u v y 2 v y 3 v 2 2 z = ( z ) = ( x ) f x ( f ) y 2 y y y y 2 v y 2 y v

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(3) z f(xy2 x2y)

解 zx f1 y2 f2 2xy y2f1 2xyf2 zy f1 2xy f2 x2 2xyf1 x2f2

zxx y2[f11 y2 f12 2xy] 2yf2 2xy[f21 y2 f22 2xy] y4f11 2xy3f12 2yf2 2xy3f21 4x2y2 f22 y4f11 4xy3f12 2yf2 4x2y2 f22

zxy 2y f1 y2[f11 2xy f12 x2] 2xf2 2xy[f21 2xy f22 x2] 2y f1 2xy3f11 x2y2 f12 2xf2 4x2y2f21 2x3yf22 2y f1 2xy3f11 5x2y2 f12 2xf2 2x3yf22 zyy 2xf1 2xy[f11 2xy f12 x2] x2[f21 2xy f22 x2] 2xf1 4x2y2f11 2x3y f12 2x3yf21 x4f22 2xf1 4x2y2f11 4x3y f12 x4f22 (4) z f(sin x cos y ex y)

解 zx f1 cos x f3 ex y cos x f1 ex y f3 zy f2 ( sin y) f3 ex y sin y f2 ex y f3 zxx sin x f1 cos x (f11 cos x f13 ex y) ex y f3 ex y(f31 cos x f33 ex y) sin x f1 cos2x f11 ex ycos x f13 ex yf3 ex ycos x f31 e2(x y) f33

sin x f1 cos2x f11 2ex ycos x f13 ex yf3 e2(x y) f33 zxy cos x[f12 ( sin y) f13 ex y] ex y f3 ex y [f32 ( sin y) f33 ex y] sin y cos x f12 ex ycos x f13 ex y f3 ex y sin y f32 e2(x y)f33

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sin y cos x f12 ex ycos x f13 ex y f3 ex y sin y f32 e2(x y)f33 zyy cos y f2 sin y[f22 ( sin y) f23 ex y] ex y f3 ex y[f32 ( sin y) f33 ex y] cos y f2 sin2y f22 ex ysin y f23 ex y f3 ex ysin y f32 f33 e2(x y)

cos y f2 sin2y f22 2ex ysin y f23 ex y f3 f33 e2(x y)

证明 因为

所以

又因为

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2 2 2 = 1 u + 3 u + 3 u , 4 x2 2 x y 4 y 2

2u = ( u ) = ( 3 u + 1 u ) t 2 t t t 2 x 2 y2 2 2 2 y y = 3 ( u x + u ) + 1 ( u x + u ) 2 2 2 x t x y t 2 y x t y t

3 ( 3 2u + 1 2u ) + 1 ( 3 2u + 1 2u ) = 2 2 x2 2 x y 2 2 y x 2 y 22 2 2 = 3 u 3 u + 1 u , 4 x2 2 x y 4 y 2

所以

2u + 2u = 2u + 2u . s 2 t 2 x2 y 2