数值计算方法复习题2

习题二

1. 已知

2. 令

解：

间内；3. 给出函数

，当

求

；

时。 ，求

的二次值多项式。

的一次插值多项式，并估计插值误差。

，

介于x和0，1决定的区

的数表，分别用线性插值与二次插值求

的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029

4. 设

插值多项式。5. 已知

的近似值。

，求

，

为节点的三次的值。1，0

和

，试利用拉格朗日余项定理写出以

及

6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算

7. 已知函数

的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应

的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

解：向前插值公式

向后插值公式

时，

8. 下表为概率积分

的数据表，试问：1）

积分

2） 为何值时，积分

？。9. 利用

字），求方程

在

各点的数据（取五位有效数

在

0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489

10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

11. 依据数表11项式。

上给出

的等距节点函数表，用分段线性插值求

，问函数表的步长h应怎样选在

上的分段三次埃尔米

12. 在

的近似值，要使截断误差不超过 取？ 13. 将区间

分成n等分，求

特插值多项式，并估计截断误差。 14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限

，因

，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，

作二次Newton插值

误差限故

15、 在-4≤x≤4上给出

的等距节点函数表，若用二次插值法

，函数表的步长h应取多少?

，

求的近似值，要使误差不超过解：用误差估计式，

令

因得

16、 若，求和

解：由均差与导数关系

于是

17、 若

互异，求

的值，这里p≤n+1.

解：

，由均差对称性可知当

有

而当P＝n＋1时

于是得

18、 求证

解：只要按差分定义直接展开得

19、已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得

由于

20、给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

解：计算插公式

，用n=4得Newton前

误差估计其中（5.18)

计算

时用Newton后插公式

误差估计得这里

仍未0.565

21. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),

使它满足

解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

此处可先造使它满足

，显然

，再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是

22. 令

表达式，并证明

称为第二类Chebyshev多项式，试求的是［-1,1］上带权

的正交多项式序列.

解：因

23、用最小二乘法求一个形如据，并计算均方误差

.

的经验公式，使它拟合下列数

解：本题给出拟合曲线

，即

，故法方程系数

法方程为解得

最小二乘拟合曲线为

均方程为

1) 满足条件2) 3) 设

＝？，

4) 设

插值多项式p(x)=(

).

,则［f1,2,3,4］=？，［f1,2,3,4,5］=？.

为互异节点，

为对应的四次插值基函数，则

＝？.

是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1

，则

＝？，

＝？；

的正交多项式序列，其中