15 磁场高斯定理 安培环路定理

大学物理

大 学 物 理 学第 十 五 讲

磁场高斯定理 安培环路定理

大学物理学

第十一章 恒定磁场

复习一 毕奥—萨伐尔定律

Idl

dB

dB

0 Idl er4π r2

dBP *

r Idl

I

r

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1. 直电流的磁场

0 I B (cos 1 cos 2 ) 4 ay P

第十一章 恒定磁场

无限长载流直导线的磁场: 0 I 1 0 , 2 B 2 a 半无限长载流直导线的磁场: 0 I 1 , 2 B 2 4 a 直导线延长线上点的磁场:a 0 , 1 2 0 0 Idl sin dB 4 r2 0

IId l

2

lO

1

r dB

dB 0 B 0

a

P

x

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第十一章 恒定磁场

2. 圆电流轴线上的磁场

B

0 IR 22( R 2 x 2 )3 2

(1)圆心处: x 0 载流圆环: 圆心角 2 B 2 R 载流圆弧: 圆心角 0 I

B

I

0 I 0 I B 2 R 2 4 R

B

I

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第十一章 恒定磁场

§11-5 磁感线 磁场的高斯定理 一 磁感线 BA 为形象的描绘磁场分布的而引入 的一组有方向的空间曲线。 B 1.规定 A 方向：磁感线上某点的切线方向为该点磁场方向。 大小：通过磁场中某点垂直于磁感 应强度的单位面积的磁感线根数等于 该点磁感应强度的大小。

BB

d m

dS

d m B dS 磁感应强度大小为磁感线的面密度。

B

可用磁感线的疏密程度表示磁感应强度的大小。

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第十一章 恒定磁场

2、磁感线的特征: 1)无头无尾的闭合曲线 2)与电流相互套合，服从右手螺旋定则 3)磁感线不相交

4 )磁感线密处 B 大；磁力线疏处 B 小；圆电流的磁感应线

BI

I

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第十一章 恒定磁场

直线电流的磁感应线

I

I IB

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第十一章 恒定磁场

通电螺线管的磁感应线

IS N

I

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第十一章 恒定磁场

二.磁通量(magnetic flux) 定义：通过某面积S的磁通量等于通过S的磁感线的条数。 磁通量单位：韦伯，Wb

1Wb 1T 1m2

S

①均匀磁场，S是平面，且与磁场线垂直 磁通量

Φm BS

B

②均匀磁场，S是平面，与磁场线不垂直

Φm BS BS cos Φm B S B S en

ss

B

en

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第十一章 恒定磁场

③磁场不均匀，S 为任意曲面

dΦm B dS BdS cos 通过整个曲面的磁通量

B

dS

B

Φm s B dS④S 为任意闭合曲面

s

Φm SB dS SB cos dS磁感应线穿入， m 为负；穿出， m 为正。

规定：dS正方向为曲面上由内向外的法线方向。 则

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第十一章 恒定磁场

S B m BS

S

en

B

m B S

BS cos

S dS

en

B

S

dS

en

B

m B dS BdS cos

m B dS BdS cos

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第十一章 恒定磁场

三、.磁场的高斯定理

dΦ 1 B 1 dS1 0

BS

dS1 1 B1

dΦ2 B2 dS2 0

B cos dS 0S

dS2

2

B2

磁场高斯定理

S B d S 0

物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零 (故磁场是无源的.)

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第十一章 恒定磁场

例1 如图载流长直导线的电流为I ,试求通过矩形面积的磁通量.解 先求

B

,对变磁场给出

dΦm

后积分求

Φm

Bx

dx

在矩形内任取一面积元dS = ldx ,在 此面积元内磁感应强度可看作常量.

I

ld2

d1

o

0 I B 2π x B // Sx方向垂直于纸面向里

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第十一章 恒定磁场

dΦm BdS

0 I2π x

ldx

I

Bx

0 Il Φm B dS S 2π

d2

d1

dx x

ld2

d1

d2 Φm ln 2π d1

0 Il

o

x

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第十一章 恒定磁场

例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a, 矩形线框宽为a,高为l与直导线共面，求通过线框 I 的磁通量. I 解：取垂直纸面向里为法 线方向，以导线1所在位 置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。 取细长条面元，面元内 为均匀磁场

B

x

la a

0 I 0 I B 2 x 2 3a x

o

a

x

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第十一章 恒定磁场

窄条形面元的元磁通为 d m B dS BdS Bldx 通过矩形面积内的磁通量

I

B

I

m d m Bldxa1

2a

x

la a

a

2a

0 I 0 I ldx 2 x 2 3a x

0 Il Ln2

o

a

x

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第十一章 恒定磁场

§11-6 安培环路定理 一 安培环路定理

Io

问题：

BR

l

E dl 0

dl

l

B dl ???

1、长直载流导线磁场的环流 设闭合回路 l 为圆形回路 ( l 与 I 成右螺旋)

l

B dl 2 π Rdl 2 π R dl = 2 π R 2 π R B dl 0 Ill l

0 I

0 I

0 I

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第十一章 恒定磁场

IO

BR

若回路绕向变为顺时针时，则

dll

B d l B d l Il l 0

2、对任意形状的回路

d

dl

B

I

ll

r

与 I 成右螺旋

0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π B dl 0 Il

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第十一章 恒定磁场

3、电流在回路之外

d

B1

I

B2 I 0 dl B d l B d l d 1 1 2 2 2 dl1 2π r1 r2 B1 dl1 B2 dl2 0 l B d l 0l

0 I 0 I B1 , B2 2π r1 2π r2