切线长定理和三角形的内切圆

复习1:直线与圆的位置关系

r

●

O ┐d

r●

O

r●

O d

相交

d ┐ 相切

直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离

┐ 相离

d < r; d = r; d > r;

复习2:1、切线的判定定理是什么？2、切线的性质定理是什么 3、角平分线的性质是什么？ 4、什么叫三角形的外接圆和外心？ 外心是三角形什么的交点？

探究：我们知道，过圆上一点可以 作圆的一条切线，那么过圆外一 点可以作圆的几条切线呢？

如图，已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P 作⊙O的切线吗？ A 1.连结OPo

2.以OP为直径作⊙O′, 与⊙O交于A、B两点。 即直线PA、PB为⊙O的切线

·B

o′

·

p

切线长是 通过作图你能发现什么呢？ 一条线段 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长，叫做这点到圆的切线长。

A

O

P

B 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、 OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系？ ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 o ∴OA⊥PA,OB⊥PB 又∵OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

A

·B

p

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

A ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

·B

C D

p

如图，若连接AB,则OP与AB有什么关系？∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB,且OP平分AB

从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切 点所成的弧。

o

⌒ ⌒ AD与BD 相等吗？

例1 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB O C A D P

(1) 解：

(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB E △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm

B

所以，半径 OA 的长为 3 cm.

如图，P为⊙O 外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B两点， OP交 ⊙O于C,若PA=6,PC=2 ,求⊙O的半径OA 3 及两切线PA、PB的夹角。

解：连接OA、AC,则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA=x

A

则OP= x+2 3 ∴OA2+PA2=OP2 即 x2+62=(x+2 3)2 解得x=2 3 ,即OA=OC=2 3∴OP=4 3 在Rt△AOP中，OP=2OA ∴∠APO=30° ∵PA、PB是⊙O的切线

O

·B

c

P ·

∴∠APB=2∠APO=60° ∴⊙O的半径为2 3 ,两 切线的夹角为60°

例2 如图，已知：在△ABC中，∠B=90°,O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB 于点E,交AC与点D。求证：DE∥OC C证明：连接BD. ∵∠ABC=90°,OB为⊙O的半径 ∴CB是⊙O的切线 ∵AD是⊙O的切线，D是切点 ∴CD=CB,∠1=∠2 ∴OC⊥BD ∵BE是⊙O的直径 ∴∠BDE=90°,即DE⊥BD ∴DE∥OC A E1 2

D O

·

B

如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上 面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？A N A

·B C B

·D

I

M

C

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条 角平分线的交点,叫做三角形的内心；这个 三角形叫做圆的外切三角形。

1.一个三角形有且只有一个内切圆； 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

三角形外接圆C

三角形内切圆C

. oA B B

. oA

外接圆圆心：三角形三边垂 直平分线的交点。

内切圆圆心：三角形三个内角平 分线的交点。

外接圆的半径：交点到三角 形任意一个顶点的距离。

内切圆的半径：交点到三角形任 意一边的垂直距离。

例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切∴AF=AE,BD=BF,CE=CD设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm)

则有

x+y=9 y+z=14 x+z=13

x=4 解得 y=5 z=9 CE=9(cm).

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、 DA和⊙O分别相切于L、M、N、P。 (1)图中有几对相等的线段？ (2)由此你能发现什么结论？ 为什么？解：∵ AB,BC,CD,DA都与⊙O相切， P L,M,N,P是切点，D N

CM O

∴AL=AP,LB=MB, DN=DP,NC=MC∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MCA

L

B

即 AB+ CD = AD+BC 圆的外切四边形的两组对边的和相等(可做定理用)

练 习： 1、已知⊙O的半径为3cm,点P 和圆心O的距离为6cm,经过点 P P有⊙O的两条切线，则切线长 为______cm。这两条切线的夹 60 角为_____度。

A O B

2、已知圆外切四边形ABCD 中，AB:BC:CD=4:3:2, 它的周长为24cm。则 AB= 8cm ,BC= 6cm ;CD= 4cm ,DA= 6cm 。A

D C O

B

三角形的内切圆的有关计算如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A

解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC1 l· r 2

D F O

·C

B 1 1 1 = 2 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF=

E

设△ABC的三边

为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

探究A c r. C a

直角三角形的两直角边分别是 a,b ,斜边是c,则其内切圆的半径r与三 边的关系是什么？a+b-c r= 2 练习：直角三角形的两直角边分 别是5cm,12cm 则其内切圆的半 径为______。 2cm B

b