3.4函数的基本性质3最值与值域1

3.4函数的基本性质—— 最值教学重点：1、掌握函数的最大值、最小值的概念； 2、会求二次函数在某指定区间上的最值； 3、重视数形结合的思想方法；

生产生活实际中会经常遇到 最大效益、最少投入等，这 里的最大、最少都归结为函 数最值问题

实例 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长 方形熊猫居室. 如果可供建造围墙的材料长是30 米，那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居 室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 面积y=x(30-3x), x (0,10) y= -3x2+30x = -3(x-5)2+75 75x30-3x

当x=5 (0,10)时,y的最大值为75 即宽取5米时，熊猫居室的最大面积是75平方米.

函数的最值概念

设函数y f ( x)在x0处的函数值是f ( x0 ).如果对于定义域内任意x,不等式f ( x) f ( x0 ) 都成立，那么f ( x0 )叫做函数y f ( x)的最小值， 记作ymin f ( x0 ); 如果对于定义域内任意x,不等式f ( x) f ( x0 ) 都成立，那么f ( x0 )叫做函数y f ( x)的最大值， 记作ymax f ( x0 );

二次函数的最值求法

配方法求二次函数的最值

例1.求下列函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-3x+1 (2)y=-x2+2x+3

练1.求下列函数的最大值或最小值: (1)y= 1-x2 (2)y=x2-8x (3)y= -4x2-x+2

二次函数的最值求法

图像法求二次函数的最值

例2.求函数y=8 +2x -x2分别在区间: (1)[-2,2]; (2) [-1, 1 ] ;(3)[2,5]上的最大值2

或最小值

练2.求下列函数的最大值或最小值: (1)y= 1-x2 x [-1,1] (2)y=2x2-8x x [-1,4] (3)y=6x-x2 x [-3,0] (4)y=2x2-4x-5 x [2,4]

二次函数的最值求法

图像法求二次函数的最值

求指定区间上二次函数的最值的步骤:

1、 配方，求二次函数的顶点坐标。

2、 判断顶点的横坐标是否在指定 区间内。 3、 若在，则二次函数在顶点取到最 大(或最小)值。若不在，则结合单调性求最值。

思考一：函数y=8 +2x -x2分别在区间: (1) (-2,2]; (2)

( , 2];(3)[3, )

(4)( , 1] [3, )上的最大值或最小值.

思考二：已知 、 是关于x的方程x 2 2mx 3m 4 02 的两个实数根，求( -1) 1 2的最值。 ( )

小结： 1、理解最大值、最小值的概念；2、掌握在指定区间上的二次函数的

最值问题的求法。

作业：练习册P33~34/9,10 P35/5

思考三：1、求函数y x 2 x 3的最大值2

或最小值.1 2、求y 2 的最值 x 2x 3

教学重点：利用二次函数的图像解决求二次

函数最值问题中带有字母参数问题。

图像法求二次函数的最值 例1:求函数 y

x ax 3 (a R) 在区间 1 , 1] [2

上的最大值与最小值

y 解：

x

2

对称轴为 x

a 2 a2 ax 3 ( x 2 ) 3 4 a

y x ax 3在[ 1

,上单调递增 1]

a (1) 当 1 即a 2时 2 2

2

x

a 2

y

当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a

-1

1 0

x

a (2)当 1 1 即 2 a 2 2 a2 a 当 x 时 ymin 3 4 2 0 a 1 即 2 a 0时

图像法求二次函数的最值y

-1 0 1 y

x

当 x 1时

2

ymax 4 a

1 a 0 即0 a 2时

当 x 1时a ( 3) 当 1 2 2

2

y max 4 a

-1 0 1

x

即a 2时 y x ax 3 在[ 1 , 1]上单调递减 当x 1时

y

当x 1时

ymax 4 a ymin 4 a

- 01 1

x

例2 求函数 y x 2x 3 x [ 1, a]2

的值域。

例3、函数

1 2 3 y x x 2 2

的定义域和

值域都是[1,b],求b的值。

图像法求二次函数的最值

例4:求 函 数 y x 2 2 x 3 在 [t , t 1] 上 的 最 大 值

和最小值解:

y x 2 x 3 ( x 1) 22 2

对称轴x 1

y0 t 1 t+1

(1) 当 t 1 1 即 t 0 时 2 y x 2 x 3 在 [t , t 1] 上单调递减 2 当x t 时 ymax t 2t 3当x=t+1时 ymin=t2+2

x

t 1 ( 2) 当 即0 t 1时 t 1 1

图像法求二次函数的最值

1 [t , t 1] 当x 1时 ymin 2

y0t t+1

x

当x t 1时 ymax t 2

1 1 ① 当t 1即t 时 2 2 2

y0

当x t 时 ymax t 2t 3

1 1 ② 当t 1即t 时 2 2 2

t t+1

x

图像法求二次函数的最值

(4) 当 t 1 时

y x 2 x 3 在 [t , t 1] 上单调递增2

当x=t时 当x=t+1 时

ymin=t -2t+3

2

ymax t 22y1

0

xt t+1

练习：书P71/3,4