3.2 复数的四则运算(1)

复数的四则运算第一课时

高中数学 选修1-2

复数的四则运算第一课时

1.复数的定义： 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.

z=a+b i ,a ∈ R ,b ∈ R2.复数的分类. 实部 虚部

实 数b 0 复数a+bi a 0,b 0 纯 虚 数 虚 数b 0 非 纯 虚 数 a 0,b 0

3.复数相等.

a = c 若a,b,c,d ∈ R, a+b i =c+d i b=d

复数的四则运算第一课时

问题一1.化简:

(2+3x)+(- 1+x)

2.类比:你能计算 (2 3i) ( 1 i)吗?3.猜想归纳: 设

z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d R) 是任意两个复数，则

z1+z2=(a+b i) (c+d i)=(a+c)+(b+d )i——复数的加法运算法则

复数的四则运算第一课时

复数的加法运算法则设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d R) 是任意两个复数，则

z1+z2=(a+b i) (c+d i)= (a+c)+(b+d )i说明: (1)两个复数的和是一个确定的复数； (2)实数的加法交换律、结合律在复数集C中仍然成立.

设 z1,z2,z3 C ,则：

z1+z2= z2+z1( z1+z2 )+z3=

z1+( z2+z3 )

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类比实数集中减法的意义,我们规定复数的减法是加法的逆运算. 把满足 ( x+y i)+(c+d i)=a+b i 的复数

x+y i 叫做复数.

a+b i 减去复数 c+d i 的差，记作： (a+b i)-(c+d i)

若 ( x+y i)+(c+d i)=a+b i ,根据复数相等的定义,求 x+y i 解：依题意 ( x+c)+( y+d ) i=a+b i 根据复数相等的定义有 x+c=a,y+d=b 动动手 于是 所以x=a-c,y=b-d x+y i=(a-c)+(b-d ) i

复数的减法运算法则 是任意两个复数,则 设 z1=a+b i,z2 c+d i(a,b,c,d R)

z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d )i

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复数的加减法运算法则

(a+b i)± (c+d i)=(a± c)+(b± d )i例1 计算

(1- 3i)- (2+ 5i)+- ( 4+ 9i)

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问题二 1+x) 是怎样进行运算的？ 多项式 (2+3x)(-

1 +i) 可以怎样进行运算吗？ 你可以类比到 (2+3i)(-

复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.即:

a+b i c+d i =ac+bc i+ad i+bd i 2 = ac-bd + bc+ad i说明：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

即对任何z1,z2,z3都有： z1 z2=z2 z1

z1 z2 z3=z1 z2 z3

z1 z2+z3 =z1 z2+z1 z3

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例2 计算

2-i)(3- 2i)(-+ 1 3i) 1 (-

5-25i

2 a+b i a-b i

a +b

2

2

问题三 你可以发现 a+b i ,a-b i 这两个复数有什么特点？ 共轭复数定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数. 复数 z=a+bi 的共轭复数记作

z,即 z= a- b i

说明(1)当b=0时，z=z,即实数的共轭复数是它本身. (2)共轭复数的简单性质： z+z=2a; z-z=2b i; z z=a2+b2 .

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思考1

当

a>0 时，方程 x2+a=0 的根是什么？

思考2

设x,y∈R,在复数集内，能将 x 2+y 2

分解因式吗？

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巩固练习：

课本P71第3,4,5题.拓展训练

例4

已知复数z满足： z z +2i z=4+2i ,求复数z.

复数的四则运算第一课时

1.复数加减法的运算法则. 2.复数的乘法法则.

3.共轭复数.