2015高考数学(理)二轮专题复习作业：专题一 第二讲 函数、基本初

数学（理科）

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第一部分知识复习专题

专题一集合、常用逻辑用语、函数与

导数

第二讲函数、基本初等函数的图象与性质

一、选择题

1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()

A．y＝e－x B．y＝x

C．y＝ln x D．y＝|x|

答案：B

2．函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()

A．3 B．0 C．－1 D．－2

解析：∵f(a)＝2

a 3＋sin a ＋1＝2，

∴a 3＋sin a ＝1. ∴f(－a)＝－a 3＋sin(－a)＋1＝－(a 3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0. 答案：B

3．已知函数f(x)＝?????（a －3）x ＋5，x ≤1，

2a x ，x ＞1

是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．(0，3)

B ．(0，3]

C ．(0，2)

D ．(0，2]

解析：由题意得???a －3＜0，2a ＞0，（a －3）×1＋5≥2a 1，

解得0＜a ≤2.故选D.

答案：D

4．函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( )

A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1)

B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)

C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R)

D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R)

解析：由已知函数可得3x ＋1＝e y (y ∈R)，即3

x ＝e y －1，所以x ＝(e y －1)3，x ，y 对调即得原函数的反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R)．故选D.

答案：D

5．对实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝?????a ，a －b ≤1，b ，a －b>1.

设函数f(x)＝(x 2－2)

(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )

A ．(－1，1]∪(2，＋∞)

B ．(－2，－ 1]∪(1，2]

C ．(－∞，－2)∪(1，2]

D ．[－2，－1]

解析：f(x)＝?????x 2－2，x 2－2－()x －1≤1，x －1，x 2－2－()x －1>1

＝?

????x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x<－1或x>2， 则f(x)的图象如下图所示．

∵函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，

∴函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1或1<c ≤2.故选B.

答案：B

6．函数y ＝e x ＋e －x

e x －e －x

的图象大致为(

)

解析：函数有意义，需使e x －e －x ≠0，其定义域为{x|x ≠0}，排

除C ，D ，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1

，所以当x ＞0时函数为减函数．故选A.

答案：A

二、填空题

7．若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析

式为f(x)＝?????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，

则f ? ????294＋f ? ????416＝________．

解析：f ? ????294＋f ? ??

??416 ＝f ? ????4＋134＋f ? ????4＋176＝f ? ????134＋f ? ??

??176 ＝f ?

????4－34＋f ? ????4－76 ＝f ? ????－34＋f ? ??

??－76 ＝－f ? ????34－f ? ??

??76 ＝－34×? ??

??1－34－sin 76π ＝－316＋12＝516

. 答案：516

8．已知函数f(x)＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列命题：

①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}；

②f(x)有最小值；

③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；

④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．

其中真命题的序号是________．

解析：∵－1－a 与1的大小不能确定，须分类讨论，故①不对，而当a ＝0时，f(x)的值域是R ，即③正确，故②不对．显然，当a ＞0时f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故在[2，＋∞)上是单调函数，故④对．

答案：③④

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x 2

＋a x (x ≠0，a ∈R)． (1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝x 2(x ≠0)为偶函数；

当a ≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)方法一 设x 2＞x 1≥2，f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2

[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，由x 2＞x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)＞16，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.

要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x 1)－f(x 2)＜0， 即x 1x 2(x 1＋x 2)－a ＞0恒成立，则a ≤16.

故a 的取值范围是(－∞，16]．

方法二 f′(x)＝2x －a x 2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′(x)≥0恒成立，即2x －a x 2≥0，则a ≤2x 3∈[16，＋∞)恒成立，故当a ≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a 的取值范围是(－∞，16]．

10．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.

(1)证明：f(x)是奇函数；

(2)证明：f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．

答案：(1)证明：函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．

又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，

∴f(x)是奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

∴f(x2－x1)＜0.

∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．

(3)解析：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得

f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.

11．已知函数f(x)＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．

(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．

解析：(1)∵f(x)＝e x

－? ????1e x ，且y ＝e x 是增函数， y ＝－? ??

??1e x 是增函数，∴ f(x)是增函数． ∵f(x)的定义域为R ，

且f(－x)＝e －x －e x ＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，

由f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立，

则f(x －t)≥f(t 2－x 2)．

∴t 2－x 2≤x －t x 2＋x ≥t 2

＋t 对x ∈R 恒成立 ? ????t ＋122≤

? ????x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立? ????t ＋122≤0t ＝－12.

即存在实数t＝－1

2，使不等式f(x－t)＋f(x

2－t2)≥0对一切x都

成立．