如何求异面直线所成的角

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如

立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角

一、端点平移法

例1、在直三棱柱ABC A1B1C1中， CBA 900,点D,F分别是AC11,A1B1的中点，若

AB BC CC1,求CD与AF所成的角的余弦值。 解：取BC的中点E，连结EF，DF， DF//EC且DF EC

四边形DFEC为平行四边形 EF//DC

EFA（或它的补角）为CD与AF所成的角。 设AB 2,

则EF

，AF

，EA

EF2 FA2 EA2故 EFA

2EF

FA10 EFA arccos

10

1

二、中点平移法

例2、在正四面体ABCD中, M,N分别是BC,AD的中点，求AM与CN所成的角的余弦值。 解：连结MD，取MD的中点O，连结NO，

O、N分别MD、AD为的中点，

NO为 DAM的中位线， NO//AM， ONC（或它的补角）为AM与CN所成的角。 设正四面体ABCD的棱长为2

，则有NO

NO CN CO2

2NO CN32 3

2

2

2

，CN

,CO , BC

D

故cos ONC

ONC arccos

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三、特殊点平移法

CD 20，例3、如图，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB 4，

AFBE1

EF 7， ，求异面直线AB与CD所成的角。

FDEC3

BG1

，连结EG、FG， 解：在BD上取一点G，使得

GD3

BEBG1 ，故EG//CD， 在 BCD中，

D ECGD3同理可证：FG//AB

FGE（或它的补角）为AB与CD所成的角。 EG//CD， EGBE1

,故EG 5；

CDBC4同理可得：

FGDF3

FG//AB，且 ，故FG 3;

ABAD4

在 FGE中，利用余弦定理可得

EG2 GF2 EF232 52 721

cos FGE ,

2EG GF2 3 52

故 FGE 120 .

因为EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角， 于是AB与CD所成的角等于60 .

点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者

中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）. 四、交线平移法

例4、正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都相等,

求AB1与BC1所成的角的余弦值。

C

1

解：取BB1的中点O，B1C1的中点F，AB的中点E,

F、O分别B1C1、BB1为的中点， FO为 B1BC1的中位线， FO//BC1， 同理可证：OE//AB1

FOE（或它的补角）为AB1与BC1所成的角。

B

A

设正三棱柱ABC A1B1C1的棱长为2，

则有OE OF

EF

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OE2 OF2 EF21

cos FOE

2OE OF4

1

所以AB1与BC1所成的角为arccos.

4

点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线总是跑到图形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线

的平行线(如练习中BB1)

Ⅱ、用补形法作两条异面直线所成的角

例5、如图所示,正方体ABCD A1BC与AD1所成角的大小. 11D1中,求 AC1（法一）补形法

解：如图，在正方体ABCD A1BC11D1的上方补上一个 同样大小的的正方体A1B1C1D1 A2B2C2D2，连结A1D2.

A2

D2

2

B2D1

A1

1 AA1//D1D2且AA1 D1D2

C1

四边形AD1D2A1为平行四边形 A1D2//AD1

与AD1所成的角。 CA1D2（或它的补角）为AC1

C

设正方体ABCD A1BC

，CD211D1的棱长为2,

则有A1D2

AC1

2又因为CD22 A1D22 AC 1

90故AC与所成角为. AD11

解：（法二）平移法

连结AC，取AC的中点O，AA1的中点E，

A1BC1

A1D1的中点F, 连结EF，EO，

D

E、F分别AA1、A1D1为的中点， EF为 A1AD1的中位线， EF//AD1， 同理可证：OE//AC1

FEO（或它的补角）为AC与AD1所成的角。 1

C

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连结FO，

设正方体ABCD A1BC11D1的棱长为2,

则有EF

EO

，FO又因为FO2 EF2 EO2 故AC与AD1所成角为90 . 1

点评：补形法就是在长方体或者正方体中,当我们在其中的任意一条直线所对应线段的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.