高中数学培养运算能力的培养

高中数学培养运算能力的培养

高碑店一中数学组

摘 要 理解概念，运用公式，掌握技能

关键词 培养运算能力

引言

为贯彻落实《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》和江泽民《关于教育问题的谈话》的精神，教育部制定出《国家基础教育课程改革纲要》，国家高中数学课程标准制定组拟定了《高中数学课程标准》的框架设想。这个《标准》根据时代的要求，依“课改”精神，在素质教育、创新教育方面有重大突破，尤其是对高中数学课堂教学有着重要的指导作用。

一、算法方面的基本要求

（1）能透彻理解数学概念,并能运用有关概念进行运算.

培养运算能力的首要前提,是让学生准确掌握数学概念,在理解的基础上记忆,运用公式,法则,并在运用过程中加深理解.根据美国心理学家奥苏贝尔的意义学习理论,所谓理解,就是符号所表示的新知识与学习者认知结构中已有的适当的知识建立非人为的和实质性的联系.具体地说,理解就是在感知的基础上,通过思维加工,把新学习的内容同化于已有的认知结构,或者改变原有的认知结构,把新知识纳入其中,以获得对事物本质和联系的认识. 例 已知A ={1,2,3,k} ,B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f : x→y= 3x+1是从集合A到集合B的一个函数，求a ,k, A, B

【解析】 由对应关系：1→4,2→7,3→10,k→3k+1,

∵a∈N*, ∴ a4≠10.

∴ 可知a2+3a= 10得 a=2或a= -5(舍去)

∴ a4= 16.又3k+1= 16 ∴ k= 5.

故 A ={1,2,3,5},B ={4,7,10,16}

本题中考查的概念就是集合和函数，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，而函数要求的像的唯一性，决定了3k+1= 16 是本题的关键。加深了对函数概念的理解，从而能够准确建立方程，提高了运算的有效性，形成了运算能力。

（2）能深刻理解数学公式,运算法则的语法结构，运用公式解决问题.

已知a,b,c为不等的正数，且abc = 1.求证

【解析】∵a, b, c是不等的正数,且abc = 1

∴ a = a b+c< 111 abc1, ∴a b+ bc

111111 111bcacac bcacab222=

= 111 abc

本题要求准确理解数学公式，深刻领悟数学公式 2ab a b (a , b是不等的正实数) 及其变形

ab a b (a , b是不等的正实数) 2

其次要求正确利用题给条件abc =1及其变形形式。

二、运算技能方面的要求

（1）在进行各种运算时,过程要合理,方法要简捷,结果要正确.

2 cosx (x ∈R)的最值. 2 cosx

2 cosx【解析】∵y = ∴ 2y – ycosx = 2 + cosx, 2 cosx例 求函数y =

∴ cosx = 2y 2 .又∵ cosx≤1 y 1

∴2y 2 1 ∴ 2y 2 y y 1

222∴ (2y-2)≤(y+1), 3y – 10y + 3≤0

1 y 3 3

1 ∴ ymin = ymax = 3 3解得

本题对函数解析式的变形要熟练，函数的有界性准确把握，变形过程合理、简捷。

（2）能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法.

22 已知实数x, y满足方程x + y – 4x+1=0. ⑴求y的最大值和最小值. x

⑵求y -x的最小值.

22⑶求x+y的最大值和最小值

22【解析】⑴方程x + y – 4x+1=0.表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆。

设y=k,即 y = kx,由圆心（2，0）到直线 y = kx x

的距离为半径时直线与圆相切，

斜率取得最大值、最小值。

由点到直线的距离公式得

2k 0

k2 1

所以 kmax= 解得k2 =3 ,kmin= -。

⑵设y – x = b ,则 y = x + b , 仅当直线y = x + b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取得最小值。由点到直线的距离公式，得2 0 b

2 , 即b 2

故 (y –x )min = -2 -

2 2 。 ⑶ x+ y 是圆上点与原点距离的平方，故连接oc，与圆交于B点，本延长交圆于D，

则 ( x+ y )max = OD

2 22 7 4

( x+ y )min = OB2 22 7 4

本题设变量代入，灵活变形；充分运用数形结合的思想方法，解决了问题。

（3）能简化运算过程,缩短运算环节,较快地进入“跳步”运算阶段.

例 设函数f (x) = 11 x+lg. x 21 x

⑴试判断函数f (x)的单调性，并给出证明；

-1-1⑵若函数f (x)的反函数为f (x)，证明方程f (x) =0有唯一解。

【解析】⑴设u =

得1 x21 x = -1 + , 由lg可知 1 x1 x1 x1 x＞ 0 解之得 - 1＜ x ＜ 1. 1 x

设 – 1 ＜x1 ＜x2 ＜ 1

U1 –u2 = -1 + x2 x12222 -( -1 + ) = - =2 – 1 ＜(1 x1)(1 x2)1 x11 x11 x21 x2

x1 ＜x2 ＜ 1 ∴x2 x1 ＞ 0 (1 x1)(1 x2)

1 x 在（ -1,1）上减函数； 1 x

1 x1 x1 x而 lg的单调性与 单调性相同，故lg在（-1，1）上减函数。 1 x1 x1 x

1显然 v = 是减函数，∴ f(x)在（-1，1）是减函数。 x 2∴ U1 ＞ u2 ， 故u =

⑵ 根据原函数f(x)与反函数f (x)的关系可知，f (x)与f(x)单调性相同。

方程f (x) =0 的唯一解为 x = -1-1-11 。 2

本题中原函数的单调性的证明被合理简化。同时，原函数反函数相同的单调性又能充分说明反函数所对应的方程解是唯一的，实现了“跳步”运算。

二、运算纠错方法：

计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，在日常生活与生产中应用非常广泛。运算技能培养的科学化要做到有效和合理，最关键的是研究学生在计算技能中出现的错误，挖掘其错误的本质，把错误消灭在萌芽状态，从而提高学生的计算技能。在计算中灵活运用技巧，结合实际，将实际问题逐步抽象成数学问题。因此，我先对小学生计算容易出错的原因进行了几点归纳。

一是学生心理方面的原因。我们常常听家长为自己的孩子辩解说：“这道题目孩子是会做的，只是考试或做作业的时候粗心做错了。” “粗心”大多是感知情感、注意、思维、记忆等心理原因造成的。大多数学生对计算题都十分轻视的，在他们看来，计算只不过是算数，是最不用动脑筋的数学题。因此从思想上就不重视，从而导致了他们在计算方面的不认真，又由于他们的年龄特点，感知比较粗略，就更容易出错。我在平日的测试中发现，题目中明明是写着6.4，学生在下一步计算中居然抄写成64；明明让你算的是加法，学生就列成了减法。这

样的情况在小学阶段的计算学习中比比皆是。

二是学生的思维定势也会带来非常大的干扰。是由先前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态，或活动的倾向性。在环境不变的条件下，定势使人能够应用已掌握的方法迅速解决问题。而在情境发生变化时，它则会妨碍人采用新的方法。积极的思维定势可以促进知识的迁移，消极的思维定势是束缚创造性思维的枷锁。比如：“一块地3公亩，种白菜用去1/4，还剩下几公亩？”常出现3-1/4的算式，这是受整数应用题求剩余的解题思路的影响，又如：“一块地6公亩，种白菜用去1/4公亩，还剩下几公亩？”常出现6×(1-1/4)的算式，这是受分数应用题“求一个数的几分之几是多少”的解题思路的影响。

三是学生的短时记忆比较弱。短时记忆一般是保存1分钟以内记忆。这1分钟的保存时间虽然很短，但是在计算的过程中却是十分重要的。

三、如何提高学生的计算能力?

(一)、充分认识计算的重要性：

(二)、要落实 …… 此处隐藏：3150字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……