电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter3

电动力学课后习题

rr

1. 试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0

差是无旋场解

r

写出A的两种不同表示式证明两者之rr

且B0= ×A

rrrB0是沿z方向的均匀的恒定磁场即B0=Bez

r Ay Axr Ax Azr Az Ayr

在直角坐标系中 ×A=( ex+( ey+( )ez

y z z x x y

Az Ay

=0

yz

Ax Az

=0 z x

Ay Ax

=0 x y

rr

如果用A在直角坐标系中表示B0

即

解

2

Ax=Az=0,AY=B0x+g(y)

rr

即 A=[B0x+g(y)]ey

解1和解2 之差为则

r ( A)y ( A)xr ( A)x ( A)zr ( A)z ( A)yr

×( A)=[ ]ex+[ ]ey+[ ez

y z z x x y

www

螺线管内

这说明两者之差是无旋场

2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管每单位长度线圈匝数为n

理求管内外磁感应强度B

解根据题意得右图取螺线管的中轴线为z轴

电流强度为I试用唯一性定

.kh

rrJdl×r∫r3

课

后

rrr A=[ B0y+f(x)]ex [B0x+g(y)]ey

答

rr

即 A=[ B0y+f(x)]ex

rµ

本题给定了空间中的电流分布故可由B=0

4πrµ

线上所以B=

4π

1

由于螺线管是无限长理想螺线管

- 1 -

daw

rr

rJ×r

求解磁场分布又在导dV'J∫r3

故

由电磁学的有关知识知

其内部磁

案

解

1

Ay=AZ=0,Ax= B0y+f(x)

网

r

由此组方程可看出A有多组解如

.c

om

电动力学课后习题

场是均匀强磁场故只须求出其中轴线上的磁感应强度 由其无限长的特性不妨取场点为零点

以柱坐标计算

即可知道管内磁场

rrrrr= acos 'ex asin 'ey z'exrrrdl= ad ' sin 'ex+ad ' cos 'ey

rrrrrrr∴dl×r=( ad ' sin 'ex+ad ' cos 'ey)×( acos 'ex asin 'ey z'ex)

r

r

r

取由z' z'+dz'的以小段此段上分布有电流nIdz'

rµ0∴B=

4π

∫

2π

rrr

nJdz'( az'cos 'd 'ex az'sin 'd 'ey+a2d 'ez)

[a2+(z')2]

=

2)螺线管外部:

由于是无限长螺线管

(ρ>a)

rr

∴r=x x'=(ρcos acos ')2+(ρsin asin ')2+z'2

.kh

2π

∞

=ρ2+a2+z'2 2aρcos( ')

rr

(ρsin asin ')ey z'ez

rrrrr=x x'=(ρ

cos acos ')exrrrdl= ad ' sin 'ex+ad ' cos 'ey

www

rrrrr2

∴dl×r= az'cos 'd 'ex az'sin 'd 'ey+[a aρcos( ' )]d 'ez

∞∞2π2πrµ0az'cos 'd 'raz'sin 'd 'r

edz'd'eydz'+∴B= nI[∫d '∫ + x33∫∫4πrr ∞ ∞00

a2 acos(' )rdz'ez]+∫d '∫3

r ∞0

而螺线管内部又是匀强磁场

所以B=0

且螺线管又是无限

由于磁场分布在本题中有轴对称性

长故不会有磁力线穿出螺线管上述积分为0

daw

r

- 2 -

答

课

后

案

µ04π

∫d '∫

∞

[a2+(z')2]

网

∞

adz'

2

z'd()

nIµ0r nIez==nµ0I∫z'2 ∞

[()2+1]a

+∞

不妨就在xoy平面上任取一点P(ρ, .0)为场点

.c

om

= az'cos 'd 'ex az'sin 'd 'ey+ad 'ez

2

电动力学课后习题

3. 设有无穷长的线电流I 沿z轴流动以z<0空间充满磁导率为µ的均匀介质域为真空试用唯一性定理求磁感应强度B解本题的定解问题为

然后求出磁化电流分布

z>0区

rr

2A1= µ0J,(z>0) 2rr

A2= µJ,(z<0)

r r

A=A

12z=0

rr1 1 ×A ×A12z=0= µµ0

由本题具有轴对称性

z=0

验证边界条件1

课

后

rrA1=A2

题中

daw

rrr

z=0,即n (B2 B1)=0rrrr

n=ez,且ez eθ=0

=1

z=0

由此可推测本题的可能解是

答

µ0Ir

e,(z>0)r 2πrθ

B=

r µIe

θ,(z<0) 2πr

案

.kh

2

1

µ

r ×A2

rB1

µ0

r ×A1

本题中介质分界面上无自由电流密度

www

综上所述 在介质中

µ0rrBIrH2=2=eθ

µ2πrrrrrr

∴H2 H1=0,满足边界条件n×(H2 H1)=0

rH1=

=

Ireθ2πr

由唯一性定理可得本题有唯一解

rrrBH= M

µ0

故在z<0的介质中

- 3 -

.c

所以边界条件1

满足

rrrµIdlA1(x)=0∫

4πr

r

rrµIdlA2(x)=

4π∫r

网

rrr

z=0,即n×(H2 H1)=0

又

µ0Ir

e,(z>0)r 2πrθ

B=

r µIe

θ,(z<0) 2πrr

rB2rM= H2

µ0

om

可得出两个泛定方程的特解为

电动力学课后习题

即 ∴

rrIµrIrIµM= eθ eθ=( 1)eθ

2πrµ02πr2πrµ0

介质界面上的磁化电流密度

rrrrrrIµIµ

( 1)eθ×ez=( 1)erαM=M×n=

2πrµ02πrµ0

总的感应电流在z<0的空间中

JM

rr

2πIµrrµ

( 1)eθ r d eθ=I( 1)=∫M dl=∫

2πrµ0µ00

电流

4. 设x<0 半空间充满磁导率为µ的均匀介质

动解

求磁感应强度和磁化电流分布假设本题中得磁场分布仍呈轴对称

x>0 空间为真空今有线电流I 沿z轴流

即可得

在介质中

∴在x<0的介质中

则IM

www

v

IM=

Q⊥e , ∴AB段积分为零

vµ(I+IM)v∴B=0e

2πr∴由

vµ0(I+IM)vµ′Ive =B= e

2πr2πr

可得µ′=

.kh

vv=Mdl

Iµ′(µ µ0)2µµ0

vvvvµ′IvB 而H2= M=e M

µ02πrµ0

课

vvµ′IvB

H2==e

µ2πrµ

vµ′Iµ µ0vM=e

2πrµµ0

取积分路线为B→C→A→B的半圆

daw

2µµ0µ+µ0

- 4 -

后

答

µ′Iv

e 2πr

vvv

n (B2 B1)=0

其满足边界条件vvvv

n×(H2 H1)=α=0

案

网

B=

v

.c

则可写作

om

沿z轴流向介质分界面

电动力学课后习题

vµµ0Iv

∴空间B=e

µ+µ0πr

IM=

µ µ0

I

µ+µ0…… 此处隐藏：2248字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……