(第二讲4)离散时间随机过程

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离散时间随机过程第二讲

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平稳随机信号通过线性系统复习Z变换性质 复习 变换性质 时域分析 频域分析本节用线性时不变( 本节用线性时不变(LTI)系统来处理平稳随机信号序 ) 列，主要讨论如何用相应的输入特性和系统的传输特 性来表达输出信号的统计特征。 性来表达输出信号的统计特征。

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1 复习z变换性质 复习 变换性质若 Z[ x(n)] = X ( z ) ,则有下列性质

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2 时域分析对于LTI系统来讲，每个输入输出关系在时域上可以通过卷积 来求得：

y ( n) =

k = ∞

∑ h( k ) x ( n k )

∞

(1)

其中，h(n)是系统的单位冲激响应。显然，对输出随机过程 y(n)的完整描述需要大量的卷积运算。 一个比较好的选择就是按照输入的统计特性 系统的特征来确 输入的统计特性与系统的特征 输入的统计特性 系统的特征 定输出y(n)的统计特性。 对于在实际中经常要用到的高斯分布随机信号，它的一阶和二 阶统计特性就足够用了。

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3 时域分析输出均值： 输出均值： 假如x(n)是平稳的，它的一阶统计特性可以由均 是平稳的， 假如 是平稳的 值 µ x 确定。为了求输出的均值，对(1)式两 确定。为了求输出的均值， ) 边求期望值： 边求期望值：

µy =

k = ∞

∑ h(k ) E{x(n k )} = µ ∑ h(k ) = µ H (ex k = ∞ x

∞

∞

j0

)

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4 时域分析输入-输出的互相关系数： 互相关系数： 互相关系数 如果对(1)式取复数共轭，用 得下式：∞

x(n + l 左乘后，两边取期望， )

E{x(n + l ) y* (n)} =rxy (l ) =因此有 类似可得∞ *

k = ∞

h* (k ) E{x(n + l ) x* (n k )} ∑

k = ∞

∑ h (k )rxx (l + k ) =

m = ∞

∑

∞

h* ( m)rxx (l m)(2)

rxy (l ) = h* ( l ) * rxx (l )

ryx (l ) = h(l ) * rxx (l )

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5 时域分析输出的自相关系数 自相关系数 在(1)式两边被 y * (n l ) 右乘并取数学期望可得：E{ y (n) y (n l )} =*

k = ∞

h(k ) E{x(n k ) y* (n l )} ∑

∞

ryy (l ) =

k = ∞

∑ h( k ) r

∞

xy

(l k ) = h(l ) * rxy (l )

(3)

由(2)式和(3)式可得：

ryy (l ) = h(l ) * h* ( l ) * rxx (l ) = rh (l ) * rxx (l )其中rh (l ) = h(l ) * h ( l ) =* ∞ k = ∞

(4)

h(k )h* (k l ) (卷积&相关) ∑

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6 时域分析输出功率： 功率： 功率 输出过程y(n)的功率 E{ y (n) } 等于 ry (0) ,从(4)式* 及自相关函数对称性 rX (m) = rX ( m) 可得：2

Py = ry (0) = rh (l ) * rx (l ) |l =0 = =∞ ∞

k = ∞

∑ r (k )r ( k )h x

∞

k = ∞ m = ∞

[ ∑ h(m)h* (m k )] rx* (k ) ∑

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7 频域分析设X(n)为一平稳随机信号，它通过一线性时不变系 统H(z)后，输出为Y(n),Y(n)也是平稳随机信号：Y ( n) = X ( n) * h( n) =k = ∞ ∞

∑ X ( k ) h( n k )

若X(n)是确定性信号，则

Y (e jω ) = X (e jω ) H (e jω ) ,由 于随机信号不存在傅立叶变换(不满足绝对可积条 件),因此，要从相关函数和功率谱的角度来研究 随机信号通过线性系统的行为。

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8 频域分析-输入输出的互功率谱密度和输出的自功率谱谱密度

若令

H ( z ) = Z{h(n)}* *

1 根据z变换性质有： Z{h ( n)} = H ( * ) z

从(2)和(4)可得：Rxy ( z ) = H * (1/ z* ) Rx ( z )Ryx ( z ) = H ( z ) Rx ( z )Ry ( z ) = H ( z ) H * (1/ z* ) Rx ( z )

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9 频域分析-输入输出的互功率谱密度和输出的自功率谱谱密度

对于一个稳定的系统而言，单位圆

z=e

jω

位

于 H ( z )、H (1/ z ) 的收敛域内 ，则有：Rxy (e jω ) = H * (e jω ) Rx (e jω )

(5)

Ryx (e jω ) = H (e jω ) Rx (e jω )

(6) Ry (e ) = H (e ) H (e ) Rx (e ) = H (e ) Rx (e jω )jω jω * jω jω jω

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10 频域分析确定系统的幅频响应： 只要我们知道了输入与输出的自相关系数 自相关系数

r

或自 自

功率谱密度 R ,就可确定系统的幅度响应，但确 定不了它的相位响应(见6式)。 确定系统的相频响应： 互相关系数和互谱密度 互相关系数 互谱密度可以提供相位信息(见5 互谱密度 式)。

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11 频域分析输出功率： 由于自相关函数和自功率谱密度的关系，1 ry (m) = 2π

∫π

π

Ry (e jω )e jωm dω

所以由(6)式得输出功率为：1 E{ y (n) } = ryy (0) = 2π2

∫π

π

H (e ) Rx (e jω )dωjω

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